为了更清楚Elliott的SU(3)壳模型，为什么给出了转动谱，这不仅是一个数学上的构造过程，而且是一个非常有趣的物理过程，这里需要回到最开始的地方，思考一下一维简谐振子和量子的概念。这些都是大学量子力学的基础内容。

    一维简谐振子就是一个弹簧连着一个小物体做简谐振动。此时的哈密顿量是

小物体就是在一个简谐势场中运动，势场如下

宏观上，如果这个小物体振动的时候，是来回反复运动的，如果能量越大，来回振动的振幅就越大，这个过程所有人都会非常熟悉。但是到了微观上，这个就会变得比较奇特，此时的能量是量子化的，而且允许的能量值之间是等间距的

    此时，微观简谐振子的能量可以看成是许多能量上不可再分的小能量构成的，我们把这个体系的最小能量单位，称为量子。在这里，这些量子是比较平庸的，在一些系统中，这些能量量子会有各种特殊的性质。量子力学就是从讨论这些量子开始的。

    所以说，简谐振子在量子力学中是非常重要的。这里边我们要区别两样东西，一个是在简谐势场中运动的小物体，一个是整个系统下能量的量子，他们本质上是不可区分的。有的时候我们是用前面的小物体讨论问题，有的时候我们是从后面的量子讨论问题。前边讨论原子核的时候，我们经常说原子核是由质子和中子组成的，这是一种还原论的观点。其实质子和中子之间的相互作用非常重要，这些所有放在一起才出现了三维简谐振子势，所说的质子和中子此时是势场中的有效粒子，和自由的单个质子或中子是不一样的。

    虽然能量是量子化的，但是一个很重要的事情，是这个小物体的空间分布，与宏观的一个点是完全不同的，它是同时的分别在整个空间上的，所以说这个小物体的空间分布是有形状的，一维的时候谈形状是不确切的，但是三维的时候就出现了形状，即使是一个粒子也会有一个空间分布的形状。这个对于理解原子核是非常重要的。如下图，这里是对应相应几个最低量子数的波函数，以及找到该小物体在某处的概率分布。我们会看到，这里有一个非常重要的结果，就是量子数越大，分布的空间范围就越大。

          当我们讨论三维简谐振子的时候，就会出现形状这个概念，而且这个形状和U(3)群的三个方向的量子数相关。三维简谐振子可以看成是三个一维简谐振子，所以在x,y,z方向上就会都有一个量子数n,分别为n_x,n_y,n_z,如果这三个量子数相同，很显然，三个方向上量子分布是一样的，所以这个原子核就是球形的，如果三个量子数不相同，这个原子核就是四极矩形状，比如长椭球（只有一个方向上有量子），扁椭球(两个方向上量子数相同)，和刚性三轴(三个方向上的量子数差一样)。

    所以用SU(3)对称性来讨论核结构，不仅仅是数学上的一种方便，更是因为它本身就是物理的一部分，是和具体的概念，特别和形状直接联系在了一起。这在原子核中是极其重要的。

    回到前边Elliott提出的sd壳的SU(3)壳模型。在这个能壳（简并的情况），有六个轨道，所以一个质子或中子放进去的时候，不能分清是哪一个轨道，所以具有U(6)对称性。这个时候的U(6)对称性的量子数，就是粒子数。当我们从U(3)对称性考虑的时候，指的是这个能壳对应总激发的量子数是2，是从量子的角度来说，也就是三个方向总共激发了2个量子，自然会有6种可能，（2,0,0）（0,2,0）（0,0,2）（1,1,0）（1,0,1）（0,1,1），前边的三种情况就是长椭球形状，后边的三种情况就是扁椭球形状。当多个质子放在这个能壳上，就会出现更多的形状，比如两个质子的时候，会总共激发4个量子，出现（4,0,0）（3,1,0）（2,2,0）（2,1,1）这些具有代表的形状。质子更多的时候，一个重要的事情是要考虑泡利不相容原理，也就是费米子不能处于相同的量子态上，也就是不能有相同的量子数标记。

    所以当多个质子和中子处于sd能壳的时候，整个系统可以有多种SU(3)群的标记，也就是说会出现各种形状。如果哈密顿量也是SU(3)对称性的，就会在各种形状中挑出一个成为能量最低的形状。如果哈密顿量破坏了SU(3)对称性，实际的波函数就是各种形状的叠加，出现新的形状。

    这样一来，我们就会明白Elliott模型的奥秘，如果能壳是SU(3)对称的，当多个质子和中子放进去，就会使得原子核呈现各种四极矩形状，这些形状是能壳的SU(3)的对称性所带来的，这正是我前边所说的能壳的SU(3)对称性和形变的SU(3)对称性是一个东西。这里可以有各种形状，而不仅仅是长椭球。如果这种剩余相互作用是四极四极相互作用，当前边有一个负号的时候，更多的就会让长椭球形状处于最低的能量。这个问题在后边还会更加详细的讨论。