我对于SU(3)壳模型的了解，也是最近的事情。至于细节，还有很多地方不是太清楚。推动我了解这个模型的，是我最近的发现结果。利用提出的SU3-IBM,很好的描述了Hf-Hg区域原子核的长椭到扁椭的形状相变。这是一个奇事，因为在这里形变都是用SU(3)对称性来描述的。这种描述方式在以前是从来都没有的。

    这个结果意味着一个事情，就是整个原子核区都有SU(3)对称性，虽然被对力破坏了一些，但是组要的特征还是存在的。所以我才看文献，来看看是否能壳具有SU(3)对称性。结果我发现，Bonatsos等人在2017年提出了近似SU(3)对称性，指出整个能壳的确可以近似的看成是SU(3)对称性的能壳。

    Elliott的工作非常重要，但是只有当发现近似SU(3)对称性才会变得更重要。他的SU(3)对称性模型是建立在能壳具有SU(3)对称性的基础上的。在以前的对于实际原子核能壳的理解中，当幻数大于20的时候，SU(3)就被破坏了，所以这个模型就不好使了。

    我在以前是不知道这个模型的，后来Draayer等人关于赝SU(3)壳模型的工作我以前也是不了解的。在我遇到的教材里边，很少提到这个模型。国内张锡珍老师和张焕乔老师的《原子核结构》连相互作用玻色子模型都没写，也就是根本就没提代数方法，国外格雷纳的名著《原子核模型》也只是简单的介绍了一下相互作用玻色子模型，没提SU(3)壳模型。国内最被重视的是曾谨言老师的《原子核结构理论》详细的介绍了相互作用玻色子模型，但是也没有提到SU(3)壳模型。我现在就是在廖继志老师的《近代原子核模型》的书中看到写了一章的Elliott的SU(3)壳模型，没有提到Draayer等人的后续工作。关于核结构中的对称性的书，都会提到这个模型，但是这类书也很少。

    因为他们的工作能应用的地方比较有限，而且实际上在本质上，和当前原子核结构研究的大方向，在基本观点是不兼容的。国内好像就没有做SU(3)壳模型的。

    正如我在前边所说的，Elliott的SU(3)壳模型，在具有SU(3)对称性的能壳之上，引入具有SU(3)对称性的四极四极相互作用，然后就解释了转动谱，把壳模型和几何模型联系在了一起。这个理论简单明了，有力的证明了单粒子的SU(3)对称性就是描述转动谱的SU(3)对称性，这一点被很多人都忽略了。

    对于中重核，转动谱的出现表现上是和Elliott的结论冲突的，因为此时的能壳的SU(3)对称性已经被强的自旋轨道耦合作用破坏了，所以不应该出现转动谱才对。所以说实验的结果，总是在那里告诉你不要仅仅看到表面上的结果，一定要往里边看。反过来，如果用Elliott的观点，反而会给出一个非常不可思议的推论，就是这个能壳虽然看起来SU(3)对称性被破坏了，但是实际上SU(3)对称性还在。非常的微妙！

    Elliott的SU(3)壳模型是只对上面图里的sd壳成立的，因为这里SU(3)对称性没有被破坏，我这里简单的说一下。这里考虑了质子或中子的自旋，所以会看到一个2s1/2轨道，关注后边的两个数，指的是这个轨道的总角动量，这里是1/2，把角动量的z分量考虑进来，就有2*1/2+1=2个态。然后是1d3/4轨道有4个态，1d2/5轨道有6个态，所以一共有12个态。如果不考虑自旋，只考虑轨道角动量，就是6个态。

    如果这6个态能量一样，就是发生简并了，整个6个态，就具有U(3)对称性，量子数是前边的2，因为这6个态每一个都意味着激发了两个声子，是不能区分的。质子或中子，占据到这个态上，无法分清楚是哪个态，只知道是激发了两个声子，所以可以在这6个态之间任意变换，这样一来，就会有U(6)对称性。

    所以当讨论简并的N=2的能壳的时候，既有U(6)对称性，也会有U(3)对称性，然后往下就是SU(3)对称性，一个质子或一个中子占据到这个态上，就用(2,0)表示。对于不熟悉代数方法的，可能会感觉有点复杂，但是很显然不是那么难。

    我再解释一下，因为有简并的6个态，所以构成了复的6维空间（量子力学的基矢空间本质上都是复的），具有U(6)对称性。因为是U(3)对称性的一个能壳，所以具有U(3)以及SU(3)对称性。当然再往下还具有SO(3)对称性。

    这个就构成了一个约化的群链U(6)-U(3)-SU(3)-SO(3)-SO(2),后面两个就是角动量和它的z分量，我们是非常熟悉的。当一个质子或中子放进去的时候，U(6)的量子数就是1，U(3)的量子数就是2，SU(3)的量子数就是(2,0),SO(3)的量子数就是图中的0(s轨道)和2(d轨道)。当多个质子或中子放进去的时候，由于泡利不相容原理，费米子不能有相同的标记，所以这个能级最多可以放下12个质子或12个中子。

    当少于12个质子的时候，比如4个，放入12个量子态中，就会有12*11*10*9/4*3*2*1=495个可能了。如果不考虑自旋（单独考虑），就是四个粒子，放入6个轨道中，也会有15种可能。

    这个问题，是核结构壳模型的计算问题。对于中重核，一个能壳的量子态很多，当放入多个质子和中子的时候，这个要对角化的空间就会非常大，计算不了。当前的壳模型就是这种暴力计算的模式，而且他们深信如果能计算就能给出所有的答案。现在看来这种说法存在问题，而且算不了也是问题。

    如果有对称性，我们就可以根据对称性来进一步分类，比如两个质子放进来，如果他们的自旋已经是一个上自旋，一个是下自旋，那么这两个质子的轨道部分就具有对称性。如果自旋是一样的，那么这两个质子的轨道部分就具有反对称性。这需要一种技术来讨论。

    两个质子，U(6)群的表示就是2，在技术中，有对称的情况，也有反对称的情况，可以很容易给出来，然后U(3)的量子数就是4，技术上会进一步细分，一般来说讨论的时候这两个是不用的，因为是固定的。关键是SU(3)对称性，两个(2,0),会耦合到（4,0）（0，2）两种情况，然后是SO(3)对称性，也会有相应的约化规则。

    所以说，当在sd壳中考虑SU(3)对称性时，所有的多粒子态是可以按照对称性约化的链来分类的，这个非常重要。一个是这些多粒子态有了明确的物理意义，一个是计算的时候会变得简单，计算上变得简单在核结构中是一个非常重要的事情。

    另外一个很重要的事情，就是构造相互作用，也就是平均场之外的剩余作用，现在问题就在这里。确定剩余作用的形式，是所有原子核结构模型的关键。

    如果没有剩余作用，多粒子的量子态就都是简并的。当加入剩余作用以后，这些简并的量子态就会分裂，接近实际的情况。这里边角动量一定是守恒的，但是还有没有更大的对称性，就是关键。这里边的关键是，量子态具有SU(3)对称性可不意味着剩余相互作用也具有SU(3)对称性。这需要结合具体的原子核的能谱来确定。

    Elliott发现，sd区域的偶偶核的基态带具有转动模式，也就是具有L(L+1)的能谱特征，如下图，这是一个非常重要的启发，所以他相信相互作用应该也具有SU(3)对称性。这是一个非常强的结果，就是平均场具有SU(3)对称性，剩余相互作用也具有SU(3)对称性。我的工作就是进一步推广了这个想法，但是改变了很多我们对于核结构的理解。

        当然，这样一来Elliott就可以通过代数方法来构造理论了。由于三维简谐振子具有SU(3)对称性，所以群论就会告诉我们，有八个该对称性的生成元，满足特定的对易关系，这在群论中是已经有的，于是Elliott就把它们构造了出来。 前边三个就是熟悉的角动量算符，具有SO(3)对称性，后边五个就是四极矩算符   

    所以Elliott就给出了四极四极相互作用作为剩余相互作用，这非常简单

    具有能量值

    于是就解释了轻核的转动谱。这个能量中与SU(3)多粒子态的量子数有关，这个可以由之前的多粒子的SU(3)耦合法则给出，还与角动量量子数有关，这个和SU(3)对称性到SO(3)对称性的约化规则给出，这些都是已经知道的。

     总之，Elliott以一种非常简单的方式连接了壳模型的SU(3)对称性，和转动谱的SU(3)对称性，发现两者是一致的。这里的关键是剩余相互作用也具有SU(3)对称性，这是一个非常奇妙的结果。原子核是一个复杂的多核子系统，核子核子之间的相互作用是并没有完全确立的。但是具体的实际激发的准粒子的相互作用，不管是平均场，还是彼此之间的作用，都具有SU(3)对称性，不知道这究竟意味着什么。