数学之美掩盖了些什么？

    意大利哲学家克罗齐在其名著《美学原理》一书的开头就曾写道：“知识有两种形式：不是直觉的，就是逻辑的；不是从想象得来的，就是从理智得来的；不是关于个体的，就是关于共相的；不是关于诸多个别事物的，就是关于它们中间关系的；总之，知识所产生的不是意象，就是概念。”

    《数学之美》这本书最大的价值，是告诉我们，数学是以什么方式定义了我们的世界，数学思维的魅力究竟在哪里。你可以不懂那么多复杂的公式，但如果你理解了数学背后的思维方式，有了感知和理解这个世界的能力，就会进入一个新境界。

     《人与机》（正在撰写中）一书想告诉我们的是，世界并不像毕达哥拉斯和伽利略所说的那样：“万物皆数”和“数学是描述宇宙的语言”，其实，在数和数学之外还有更广阔的世界！

    最早把数的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派。他们很重视数学，企图用数来解释一切。宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘。他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五这个数。这在今天看来很平常的事，但在当时的哲学和实用数学界，这算是一个巨大的进步。在实用数学方面，它使得算术成为可能。在哲学方面，这个发现促使人们相信数是构成实物世界的基础。他同时任意地把非物质的、抽象的数夸大为宇宙的本原，认为“万物皆数”，“数是万物的本质”，是“存在由之构成的原则”，而整个宇宙是数及其关系的和谐的体系。毕达哥拉斯将数神秘化，说数是众神之母，是普遍的始原，是自然界中对立性和否定性的原则。

    毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。

   这个小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。希帕索斯后被毕达哥拉斯投海溺毙。

   这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这在希腊当时是人们普遍接受的信仰！可是为当时的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

   事实求是地说，当前人工智能领域的根源就是数学，无论是符号主义、联行结主义还是行为主义、机制主义，离开了基于规则和统计的数学体系，人工智能的大厦顷刻间就会老老实实地恢复成成自动化，甚至是机械化、木牛流马化，为什么？原因很简单，有机无人，或者说，有智无慧。

    帕斯卡尔在《人是一根能思想的苇草》里说：“思想形成人的伟大。”。能思想的苇草，即我不是求之于空间，而是求之于自己的思想的规定。我占有多少土地都不会有用；由于空间，宇宙便囊括了我并吞没了我，有如一个质点；由于思想，我却囊括了宇宙。 

    依照目前的数学体系，在可见的未来，机器应该不会产生出“思想”，更不会伟大到可以“描述宇宙”，原因中姑且不再谈“哥德尔不完全性定理第一、二定理”，就是特定情境中状态参数的设置和表征、非公理的逻辑矛盾、直觉反思的不确定性就让当代的数学现形不少了，而那些真以为和假以为数学能够包打天下的学者可以抽空静下来，停止吆喝，问问自己在家能不能不靠父母，在外能不能不靠数学，仓廪实而知礼节呢？！

    数学很美！但数学也像其它学科一样也有不美的地方，这个应该承认，就是科学也有许许多多不美之处，AI更是如此：不要象当年的神学一样从鼎盛走向衰亡，......

附录两篇好文：

《数学之美》读后感

阴凉爱坐楼

第一次看到《数学之美》系列文章，是在2008年的Google黑板报上（那个时候Google还没有退出中国）。作者吴军博士当时是Google的研究员，后来到腾讯担任副总裁，两年后又回到Google负责人工智能方面项目，现在他自己创办了创投公司。可以说，吴军是从学术到工业，再到投资界的顶尖专家，在每个领域都有很深的造诣。

之所以对这个系列文章记忆犹新，是因为当初自己正在做机器学习方面的研究，而书中举的很多例子正是我在研究过程中碰到的问题。和其他数学题材书籍比起来，最难能可贵的是，吴军把抽象、深奥的数学方法解释得通俗易懂，给人以很多启发，也让人由衷感叹数学的简单之美和强大之美。

此后，吴军把专栏内容集册成书，并发行了两版，每次读完都有更深一层的体会。至此，我从方法论和思维方式上对此书加以总结，以对这次持续十年的阅读历程画个句号。

一、学习建立解决智能问题的框架。在面对智能问题时，一般地可以考虑按以下四个步骤求解：1.将问题转换成数字描述；2.找到恰当的数学模型（目标函数）；3.对复杂的数学模型进行简化或近似处理，以便计算；4.求解目标函数。（对统计模型来说，还要利用数据学习参数）

在今天这个大数据和云计算时代，统计模型往往是解决问题的利器，因为现在我们要解决的问题很多是不确定的。从信息论的角度讲，统计模型的本质是利用信息来消除或减少不确定性。此外，摩尔定律的持续作用，让计算能力快速提高的同时，计算成本急剧降低，使得解决统计模型所需要的海量计算成为可能。

可以说，在科技发展的这个时间点，统计+数据+计算=人工智能。以前计算能力不够，统计模型无法得到求解，在当等式左边三要素都齐备之后，人工智能才就此走向了浪潮之巅。

二、在做事上，首先追求完成，而非完美。许多时候做事失败，不是因为人不够优秀，而是做事的方法不对。一开始追求大而全的解决方案，之后长时间不能完成，最后不了了之。在工程上，应该坚持寻找简单有效的解决方案，先帮助用户解决80%的问题，再慢慢解决剩下的20%问题。

这么做至少有两个好处：1.节约资源。资深工程师往往倾向于低估简单方法的有效性，而完美的方案需要花费大量的资源和时间，但可能最后的提高不多，即性价比不高；2.简单的方案容易解释每个步骤和方法背后的道理，这样不仅便于出了问题时查错，而且容易找到今后改进的目标。

三、正确认识道和术。做事情的方法有道和术两种境界，具体的做事方法是术，做事的原理和原则是道。在术的层面，往往没有捷径可走，必须要通过不断的训练和努力。道决定了做事结果的上限，很多时候在术的层面再努力，也无法突破这个边界，这个时候就要考虑道是否正确。

对搜索引擎反作弊这件事，在术的层面的解决方案是，找出每个作弊的例子，分析并清除之。这种方法能解决问题，而且不需要太动脑子，但是工作量巨大，不断会有新的作弊方法出现，难以从个别现象上升到普通规律，即所谓的“头痛医头、脚痛医脚”。Google从一开始，就认为反作弊实质上是个通信中解决噪音问题，并从加强通信自身的抗干扰能力、过滤噪音两方面入手，从根本上提高了搜索算法的抗作弊能力，达到了事半功倍的效果。可见追求术的人一辈子工作很辛苦，只有掌握了做事的道才能永远游刃有余。

四、找到科学的工作方法很重要。人类为了实现飞行的梦想，首先想到的是模仿鸟类制作振动的翅膀，但这种方法根本不能让人飞起来。读后感www.simayi.net后来英国人乔治·凯利爵士通过重新审视鸟类翅膀的功能，发现了空气动力学原理，并制造了一架滑翔机，实现了人类历史上第一次载人滑翔飞行。后人从空气动力学这个科学原理出发，最终发明了现代固定翼飞机。

在人工智能领域，也存在上述“鸟飞派”和“空气动力学派”的分别。机器翻译中，最难的问题之一是词的二义性。比如Bush一词可以是美国总统布什的名字，也可以是灌木丛。最直接想法的是告诉计算机加一条规则：“总统做宾语时，主语必须是一个人”。如果这样做的话，语法规则就多得数不清了，而且还有很多例外。

真正简单却实用的方法是，从大量文本中找到和总统布什一起出现的词，比如美国、华盛顿、国会等等，对灌木丛也作如此处理。在翻译Bush时，看看上下文中哪类相关的词多就行了。这就巧妙地把一个人类的智能问题变成计算机擅长的计算统计问题。

从上述例子中可以看到，所谓鸟飞派，就是指从经验出发，让计算机模仿人的思维方式，试图获得智能的做法，这个做法证明行不通。所谓空气动力学派，就是指搞清楚智能问题的本质，让计算机通过数据和数学模型解决智能问题。今天人工智能的全部进步，都是走后一条道路的结果。

《数学之美》一书，即使对不做研究或工程的人来说，也是开卷有益的。当吴军老师如讲故事般地，把复杂的问题以简单的数学形式讲述出来的时候，你会发现，原本深奥的公式是如此亲切和栩栩如生，也让人由此坚信，任何复杂的问题，最终都可以用简单的方式去解决。

可以说，数学之美，也是化繁为简之美。

《数学之美》读后感（2）

曉SHAO

我们每个人都从小就开始学数学，多数人说起数学，恐怕都会觉得太难、太深奥。而且很多时候，似乎我们的工作也不需要那么多复杂的数学知识。

不过有些事实我们无法回避，这个世界属于科学范畴的各种知识，它的底层逻辑，几乎都离不开数学。我们现代生活的方方面面，无论是现实的物质世界，还是虚拟的网络社会，都建立在一个用数学知识为基础的复杂结构里。

《数学之美》这本书最大的价值，是告诉我们，数学是以什么方式定义了我们的世界，数学思维的魅力究竟在哪里。你可以不懂那么多复杂的公式，但如果你理解了数学背后的思维方式，有了感知和理解这个世界的能力，就会进入一个新境界。

首先我们要了解数学到底有什么用。

比如让计算机处理自然语言时，人们一开始想让计算机学会人类的语法，但后来发现，要写出来的语法不仅数量特别多，而且实际的识别率特别低。后来科学家们在数学统计学工具的帮助下，让计算机计算出句子的出现概率，通过概率的大小来判断正确与否，从而解决了这个难题。在让计算机进行新闻分类时，科学家们也是另辟蹊径，利用新闻中的特征词来构建向量，再使用余弦定理完成了对新闻的分类。数学让我们抓住做事的规律也就是“道”。

那数学为什么这么有用，归根到底是因为数学能帮助我们发现仅凭经验无法发现的规律，找到仅凭经验无法总结出来的办法。比如我们是在数学的帮助下，才发现了行星围绕恒星运转的真正规律。而我们每天使用的全拼输入法，也都是靠着数学的帮助，才让输入效率不断提高。

最后，为什么说数学之美就是简单美。当使用数学的方法，“术”可能比较复杂，但是“道”却总是简单的。不管是计算机背后隐含的简单的布尔代数原理，还是使用数学来解决各种问题时体现出的简单思想，都向我们展示出数学之美就是简单美。