• 表示函子

  
  

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表示函子(representative functor)是范畴论里的概念，指从任意范畴到集合范畴的一种特殊函子。这种函子将抽象的范畴表达成人们熟知的结构（即集合与函数），从而使得对集合范畴的了解可以尽可能应用到其它环境中。

从另外一个角度看，范畴的表示函子是随范畴而生的。因此，可表函子理论可以视作偏序集合理论中的上闭集合以及群论中的凯莱定理的极大的推广。

• 中文名  表示函子

• 外文名  representation functor

• 学    科  数学

• 领    域  范畴论

• 别    名  可表函子

目录

1. 1 定义

2. 2 泛元素

3. 3 性质

4. ▪ 1.唯一性

5. ▪ 2.保极限性

6. ▪ 3.左伴随

定义

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设

 为局部小范畴，并记集合范畴为

 。对

 中的每个对象

 以

 指代将对象

 映到集合

 的Hom函子。

函子

 是可表的当存在某个

 中的对象

 使得

 自然同构于

 。而满足

为自然同构的对

 则称为

 的一个表示，即表示函子 [1]  。

从

 到

 的反变函子

 不过是（协变）函子

 ，常被称作预层。与协变的情况相似，预层是可表的当它自然同构与某个反变的Hom函子

 ，其中

 是

 中的某个对象。

泛元素

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根据米田引理，从

 到

 的自然变换与集合

 一一对应。给定自然变换

 ，与之对应的元素

 由

给出。反之，给定元素

 ，可以如下定义自然变换

其中

 是

 中的任意元素。为了得到

 的表示，我们需要确定

 诱导的自然变换何时会是同构。这引导出如下定义：

函子

 的泛元素是由

 中的对象

 与

 中的元素

 组成的一对

 ，使得对于任意满足

 的对

 ，都存在唯一映射

 使得

 。

泛元素还可看作从单点集合

 到函子

 的泛态射，又或者看作

 的元素范畴中的始对象。

这样，由元素

 诱导的自然变换是自然同构当且仅当

 是

 的泛元素。由此可以得出

 的表示与

 的泛元素之间的一一对应。为此，泛元素

 常常也被称为表示。

性质

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1.唯一性

函子的表示在同构的意义下唯一。换言之，如果

 与

 表示同一个函子，那么存在唯一的同构

 使得

作为从

 到

 自然同构相等。这一事实可由米田引理简单得出。

用泛元素的语言表述如下：如果

 与

 表示同一个函子，那么存在唯一的同构

 使得

2.保极限性

表示函子自然同构于Hom函子，因而享有许多后者的性质。尤其值得注意的是，（协变）表示函子保持所有极限。由此可得，未能保持某些极限的函子都不是可表的。

相似地，反变可表函子把余极限映到极限。

3.左伴随

如果函子

 带有左伴随

 ，那么它就可由

 表示；这里

 是某个单元素集合，而

 是伴随的单位。

反之，如果

 由对

 表示，且

 的任意上幂在

 中都存在，那么

 拥有左伴随

 ，后者将任意集合

 映到

 的

 次上幂。

所以，如果

 是带所有上幂的范畴，则函子

 是可表的当且仅当它拥有左伴随 [2]  。

• 参考资料

• • 1.  [1]郑丽红. 函子范畴的性质保持与扩张研究[D].福建师范大学,2015.

  • 2.  [2]匡敏. 函子范畴上加性函子的表示[J]. 复旦学报(自然科学版),2005,03:427-434.

• 学术论文

  内容来自 

• 
  

•  姜翠波，林宗柱.    顶点算子代数表示理论中的范畴和函子． 《 cnki 》 ， 2017

•  

•  匡敏.    函子范畴上加性函子的一个表示． 《 CNKI;WanFang 》 ， 2006

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