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[转载]实数域：是实数所在的有理集合，具有连续性、完备性、有序性等性质
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实数域
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实数域是实数所在的有理集合，具有连续性、完备性、有序性等性质。
中文名 实数域
外文名 real number field
学 科 数学
目录
历史
埃及人早在公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们就意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发明了负数，据说中国也曾发明负数，但稍晚于印度。在1871年，德国数学家康托尔最早地全面地给出了实数的定义。
背景
实数，是一种能和数轴上的点一一对应的数。本来实数只叫作“数”，后来引入的虚数概念，数系扩充到复数系，原本的数便称作“实数”，意义是“实在的数” [1] 。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零。实数集通常用字母R表示。而用 Rn 来代表n维实数空间 （n-dimensional real space）。
实数是可以用来测量连续的量的。实数的个数是无穷的。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数（floating point numbe）
公理系统
实数可以不同方式从有理数（即分数）构作出来。设 R 是所有实数的集合，则：集合 R 是一个体：可以作加、减、乘、除、乘方运算，且有如交换律，结合律等运算律。
集合 R 是有序的：设
若
集合 R 是完整的：设 R 的一个非空的子集S，如果S在R内有上限，那么S在R内有最小上限。
最后一条是区分实数和有理数的关键。例如：所有平方小于2的有理数的集合存在有理数上限， 但是不存在有理数最小上限。实数是唯一适合以上特性的集合：亦即如有两个如此集合，则两者之间必存在代数学上所称的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。
特性
连续性
数轴上的任何一点都可以用一个实数来表示，每个实数也对应着数轴上的一个点，可见全体实数正好铺满了数轴，这个性质称为实数的连续性。 [2]
有序性
对于任意a，b ∈R，必满足下述三个关系之一：
(i) a<b
(ii) a=b
(iii) a>b
对任意
推论： 任意两个不相等的实数间必然存在一个有理数（1）。
证明：
设
任意取定有理数
设
即
类似可以证明：任意两个不相等的实数之间必存在一个无理数。于是有：任意两个不相等的实数之间必有一个实数。
（1）也可以描述为：在任意一个区间（α,β）内都存在有理数。
由此可见，有理数在实数集中是密集分布的，但仍有“缝隙”，这些“缝隙”则有无穷多的无理数填满。
完备性
①所有实数的柯西序列都有一个实数极限。
②有理数集并非拓扑完备，例如 (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, …) 是有理数的柯西序列却没有有理数极限。但它却有个实数极限 √2。实数集是有理数集的空备化——这亦是其中一个构作实数集的方法。
极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里得几何的直线没有“空隙”。
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参考资料
1.曹重光. 实数域上有限可除代数矩阵空间保幂等的线性算子[J]. 数学杂志, 1992(3):349-353.
2.白瑞蒲, 安宏伟, BAIRui-pu,等. 实数域R上n+1维n-Lie代数的内导子代数[J]. 河北大学学报(自然科学版), 2008, 28(1):4-6.
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