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[转载]双曲空间模型：是非欧式空间家族中的一个重要空间，即双曲空间（hyperbolic space）

已有 7976 次阅读 2020-10-12 14:31 |系统分类:科研笔记|文章来源:转载

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双曲空间模型

在数学中，曲率为常数且为负数的空间被称为双曲空间。为了直观的表示双曲空间，数学家们开发了很多模型。

彭加莱平面

跟踪曲线（Tractrix）

莱布尼茨首先提出了跟踪曲线的问题。如上面的动画所展示。考虑水平地面上有一个物体，你用一根长长的细杆推动兼或拖拉着它。细杆的长度固定，一边连接着物体，而且连接处可以自由转动，另一端则被你手牵动着。当你沿着y=0这条直线匀速直线往前走的时候，那么这个物体在水平地面上运动后形成的轨迹就被称为跟踪曲线（Tractrix）^[1]。

下面，我们将列出这个曲线的方程，并根据这条曲线生成三维的双曲曲面。

如下图所示，根据跟踪曲线的含义，我们知道，物体的运动方向也就是曲线的切线方向，刚好与拖动的杆子（绳索）相重合，并且因为杆子的另一端始终在y＝0上面滑动，所以我们可以列出方程：

根据简单的几何运算，我们知道这条曲线需要满足下面的方程：

$dy/dx=-\frac{y}{\sqrt{a^2-y^2}}$

其中a表示杆子的长度。当x=0时，杆子与y轴重合，于是y(0)=a为初始条件。不妨假设a=1，我们可以求解出这个微分方程。

$x=\mathrm{arccosh}\frac{1}{y}-\sqrt{1-y^2}.$

不过，为了后面讨论方便，我们采用曲线的弧长作为参数，来列出该曲线的参数方程。我们设从x=0点出发的曲线弧长s为自变量，那么可以知道曲线的参数方程就变为：

$\begin{align} &x=\mathrm{arccosh}\,e^{s}-\sqrt{1-e^{-2s}}\\ &y=e^{-s} \end{align}$

旋转跟踪曲面

让跟踪曲线绕着它的渐近线（y=0这个数轴）转一圈，形成的曲面就是一个满足曲率为－1的双曲平面，该曲面被称为Tractricoid（旋转跟踪曲面），也被称为伪球面（pseudosphere）。如下图所示

我们可以用弧长以及旋转的角度作为基本参数，写出跟踪旋转曲面的参数方程：

$\begin{align} &x=\mathrm{arccosh}\,e^s-\sqrt{1-e^{-2s}}\\ &y=e^{-s}\mathrm{cos\,}\theta\\ &z=e^{-s}\mathrm{sin\,}\theta \end{align}$

其中s就是跟踪曲线上的物体从开始走过的弧长， $\theta$ 就是曲线从开始绕着y＝0旋转的角度（如下图）。

如果我们以 $s, \theta$ 为自由参数，那么它们就构成了一个描述这个旋转曲面的坐标系。

下面，我们将设法找到制约这个新曲面的度规，有关度规，请参看空间曲面。

假设我们从任意点 $s, \theta$ 出发，沿着曲面行走一段小距离，这一小段既包括沿着s方向的行走，有包括了沿着 $\theta$ 方向的转动。当角度旋转了 $d\theta$ 之后，对应的曲面上的位移应为旋转的角度乘以旋转的半径，也就是 $e^{-s}d\theta$ ，这样，曲面上的一段小微元距离就应该是：

$dl^2=ds^2+e^{-2s}d\theta^2$

接下来，如果我们令 $\gamma=e^{s}$ ，那么 $d\gamma=e^{s}ds$ ，于是，我们就得到：

$dl^2=\frac{d\gamma^2+d\theta^2}{\gamma^2}=\begin{pmatrix}d\gamma&d\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{\gamma^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\gamma^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\gamma\\d\theta\end{pmatrix}$