我们对于Lebesgue积分的基本思想已经有了初步的了解，一切准备工作就绪，该如何定义Lebesgue积分呢？

可以先回顾一下可测函数的结构，对于非负的可测函数，可以找到一个单调递增的非负简单函数序列处处收敛到该函数，这个性质的证明与Lebesgue积分的思想颇为相似，事实上，正是通过对函数值域的划分来构造这个简单函数序列的。而对于非负的简单函数，可以自然地定义其Lebesgue积分，将简单函数积分序列的极限作为函数的积分，最后再拓展到一般函数的积分。这个办法似乎与我们一开始介绍的积分思想有所不同，其实不然，从简单函数序列的构造很容易发现两者是等价的。采用什么样的定义取决于你的选择，个人以为，采用直接对函数值域作划分的办法更自然，更便于阐明积分的思想，也便于和Riemann定积分做比较。

这里涉及到函数的定义域可能是个无限测度集，函数也可能是无界的，甚至在某些点处取值为无穷大（这是与微积分不同的地方），由于要讨论极限的存在性，当集合的测度或函数为无穷大的时候会给讨论带来不必要的麻烦。所以，Lebesgue积分的定义并不是一撮而就的，需要分步进行。这里可以再次参考一下Riemann积分的定义，实际上，Riemann积分也是先定义区间[a,b]上的积分，虽然不必假定函数的有界性，但可以证明当函数狭义Riemann可积时，它一定是有界的。这里通常也是先针对有限测度集上的有界可测函数定义Lebesgue积分，然后逐步过渡到无限测度集及一般的可测函数，这个过程有点类似从狭义Riemann积分过渡到广义Riemann积分。

随着Lebesgue积分定义的建立，自然带来三个问题：

1、什么样的函数是Lebesgue 可积的？

         2、Lebsgue积分具有什么样的性质？

3、它与Riemann积分是什么关系？

这三个问题对于进一步探讨Lebesgue积分显然是重要的，如果我们对这类函数到底长成什么样一无所知，终究会带着一种忐忑不安的心情来讨论，因为我们不知道会不会在研究了半天后，却发现原来可积函数根本就是个空中楼阁？数学研究大多如此，当你建立了一个新的定义后，首先需要对这个定义的内涵与外延做一番探讨，然后才能去挖掘与之相关的理论与应用。

幸运的是，有限测度集上所有的有界可测函数都是Lebesgue可积的，相对于Riemann积分，这个结论太好了，好得有点令人喜出望外。我们不妨将微积分中一个最为病态的例子拿来考察一下，提到病态，用不着提示，学生自然会想到那个处处不连续的函数：Dirichlet函数$D(x)$。这个函数可以看着有理数集的特征函数在[0,1]上的限制。可测集的特征函数好比砖头与钢筋在实变函数这个高楼大厦中充当了基本模块的作用，如果它不可积，那就真的无法理解Lebesgue积分了。根据Lebesgue积分的定义经过简单分析不难看出：

$\int_{[0,1]}D(x)dx=0$

我们知道，这个函数是Riemann不可积的，可见Lebesgue积分对函数的要求比Riemann积分弱了许多。

Riemann积分的那些性质是不是也被继承了下来呢？学生自己都可以去猜想，Lebesgue积分可能具有哪些性质，因为这些性质完全可以通过与Riemann积分性质的类比归纳出来，只不过证明方法上有很多不同之处，本质上没有太大的困难。但有一个问题并不平凡，那就是Riemann可积函数是不是Lebesgue可积函数？如果答案是否定的，那就令人沮丧了，想当初我们因为发现了Riemann积分的缺陷从而企图寻找一种更为实用的积分理论，花费了这么多时间与精力，最终却发现它并不能涵盖Riemann积分，还有什么比这更可悲的？这次幸运之神再次眷顾了我们，Lebesgue积分果然涵盖了Riemann积分。不过这个问题的讨论比较复杂，可以先埋下一个伏笔，在稍后的时间里再做详细讨论。