无论是数学还是自然科学，积分随处可见，能量可以表示成积分、路程可以表示成积分、压力可以表示成积分、电量可以表示成积分、面积也可以表示成积分，积分无处不在。总之，只要你有点“阴晴不定”，最后对付你的多半是积分。从这个角度说，我们不能根据一个人在一件事或某个时候的表现便对这个人妄下断论，需要根据他在相当长一段时间内的表现来对他作出评判。

令人遗憾的是，即使你已经把握了某个量的变化特征，甚至用简单的函数关系把它表示了出来，也未必能准确计算出它的积分，所以，“逼近”在数学与自然科学研究中是一种司空见惯的手段。在计算技术如此发达的今天，数学与计算机的结合，使得近似计算的精度可以达到惊人的程度。

不过在你实际操刀准备大显身手之前，需要先弄清楚一件事，你的近似算法可不可行？具体地说，你取了一个比较简单的函数序列，通过计算它们的积分去逼近目标函数的积分，也许你能看出这个函数序列的确是收敛到目标函数的，甚至这个函数序列的积分也是收敛的，你美滋滋地认为，积分序列一定收敛到目标函数的积分。于是你信心满满地算出了能量、算出了压力、取得了震惊世人的重大发现。也许你复杂的计算让大家一时无法仔细推敲你的结论，既不能肯定也不能否定你的结论，你成功了，成了大牛。这样的笑话是有过的，很多年前，某人给某个油田算数据，他算的数据是个发散序列，却振振有词道：“与实际结果非常吻合”，真是活见鬼了，据说后来被人大骂骗子。

积分与极限的顺序是否可以交换是个比较难的问题，微积分中通常需要附加非常强的条件，最简单的条件当然是函数序列一致收敛。然而，令人沮丧的是，绝大多数的情况下是无法做到一致收敛的，甚至处处收敛都做不到。历史上最著名的问题是“函数的傅里叶展开是否收敛到该函数？”虽然傅里叶分析是个比较古老的学问，但这个问题的解决却经历了相当长的时间，并因此诞生了一门新的理论：“调和分析”。我们暂且把傅里叶分析放在一边，还是来考察收敛性问题，看看数学上的直觉能帮我们做什么。

如果一个函数列一致收敛，通常函数列的很多特征都被极限继承了下来，例如连续性、可积性等。我们需要考察的是，如果一个函数列仅仅处处收敛，它与一致收敛的差别有多大？也许从这种差别上可以看出一点解决问题的苗头。不妨看一个简单的实例：f_n(x)=xⁿ，x∈(0,1)，这是个处处收敛到0但不一致收敛的函数列。这个函数列虽然不是一致收敛的，但我们不难看到，导致不一致收敛的原因在于区间的右端点，只要我们把右端点的一个充分小邻域挖掉，例如挖掉(δ，1)，其中δ充分接近1，那么在剩下的区间(0，δ]上，函数列是一致收敛的。它启发我们可以这样来处理问题，在区间(0，δ]上由于有一致收敛性做保证，问题不难解决，需要对付的是区间(δ，1)上的情形。由于δ可以充分接近1，换句话说，这个区间的长度可以充分小，可以想象，只要函数列不是太不守规矩，它们在这个小区间上的积分还是可能被控制的。事实上，微积分中瑕积分的收敛性判定采用的正是这个思想，不信你去回顾一下p-积分收敛判别法及其证明，便知我所言不虚。

问题的关键在于，上述例子是特殊现象还是具有某种规律性？也就是说，当一个函数列处处收敛时，导致收敛不具有一致性是否仅仅源于定义域中个别的点？无论你考察什么具体的函数列，答案都是肯定的。因此我们有理由相信，一个处处收敛的函数列一定可以通过挖掉定义中“很少”的部分，使得在剩余的部分一致收敛。这正是实变函数中非常重要的叶果罗夫定理的由来，这个定理是说：“如果{f_n}是有限测度集E上几乎处处有限且几乎处处收敛到f的可测函数列，那么对任意δ>0，存在E的可测子集E_δ，使得E_δ的测度小于δ，并且f_n在E-E_δ上一致收敛到f。”这个定理对于积分与极限交换顺序的证明起着举足轻重的作用。在我看来，叶果罗夫定理的重要性不仅仅体现在它的应用上，更重要的是这种处理问题的思想，即将问题分成“正常”与“奇异”两个部分来分别处理，这是数学的常规思想方法。

具体地如何从几乎处处收敛做到一致收敛可以参见博文《说课（6）（从逐点收敛到一致收敛）--实变函数》，博文链接：

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