风花雪月之后回归正业。

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在空间理论之后，通常介绍两类空间上的算子，一类是Banach空间（完备的线性赋范空间），另一类是Hilbert空间（完备的内积空间）。由完备化定理，非完备空间可以首先将之完备化，所以一般情况下可以将问题限制在完备空间上讨论。

在我们讨论线性算子（线性变换）时学生可能会产生疑问，为什么仅仅讨论线性算子，很多问题实际都是非线性的，所以在进一步讨论之前可以就这一问题做个简单阐述。线性问题之所以重要，主要源于两个方面的原因，一是现实世界中的确存在很多线性问题，例如很多控制系统就是线性的。二是很多非线性问题可以借助线性方法来处理，我们早已在微积分中见识了非线性问题线性化的强大威力，例如微分近似公式、局部地切线代替曲线等。微积分中以直代曲的思想几乎遍及现代数学的每一个分支，拓扑中的向量丛理论是最典型的代表（老师可以视学生实际情况决定就这个问题介绍到什么程度，实际上，只要要求别那么严格，完全可以对本科生介绍一下向量丛的基本思想）。鉴于上述两个原因，直到今天，线性泛函分析依然是数学乃至自然科学研究中普适的框架。

对线性算子概念的理解没有任何实质性难度，事实上，如果忽略维数，线性算子的概念与线性代数中的线性变换在定义上没有什么不同，但线性代数中通常只考虑线性变换的代数结构（如线性变换的标准型），由于赋范空间中带有拓扑结构（通俗地说有极限概念），所以自然需要考虑算子的连续性，由此展开得到线性算子的一些最基本性质，包括连续性与有界性的等价，线性算子的范数等。

与线性代数相比，算子空间是一个新的概念，在学时许可的情况下，老师除了介绍Banach空间上线性算子全体构成空间的基本性质，还可以顺便介绍一下抽象的算子代数。算子代数在数学以及物理学（例如量子力学）中的重要性对于每个现代数学研究者来说都是应该有所了解的，虽然本科阶段要做到系统的了解很困难，但通过Banch空间上算子代数这个具体的例子，学生对其基本思想的理解并没有太本质的困难。

关于线性算子的基本理论中有三个定理号称泛函分析的三大基石，其中之一便是Hahn-Banach延拓定理，也称为扩张定理。最早与这个问题有关的讨论是Schmidt在$l^2$
上线性方程组的工作，在继Schmidt之后的二十余年的时间里，人们就$L^p$空间、连续函数空间以及序列空间上的线性方程做了一系列的研究。这些问题的解决取决于线性泛函的可延拓性，直到1927年，Hahn就一般的Banch空间解决了线性泛函的延拓问题，至此相关的理论问题迎刃而解，老师在课堂上介绍延拓定理之前最好对这个定理的历史渊源做一简单的介绍。

Hahn-Banach延拓定理是泛函分析中第二个难度比较大的定理（第一个定理是空间的完备化定理），不过对这一定理基本思想的理解并不困难，老师很容易解释清楚。但这个定理为什么重要（甚至可以说是泛函分析基础理论中最重要的一个定理）？学生未必能搞清楚，老师需要做深入细致的分析。在这个定理的讲解过程中，老师需要说清楚几个问题：

1、这个定理说的是什么意思？

2、怎样将一个空间的子空间上给定的有界线性泛函扩张到更大的空间上？具体地说，假设f是Banach空间X的子空间M上的有解线性泛函，$x_0 \in X-M$，$M_1$是M与$x_0$张成的子空间，如何将f扩张到$M_1$上？扩张并不难，难的是要保持泛函的范数不变，这也是证明中的第一个难点。

3、如何找到“最大”的扩张？这是运用超穷归纳法的又一个经典例子，在Hilbert空间中正交基的存在性证明中已经运用过超穷归纳法，学生在理解上应该不会有难度。通过这个定理的证明，学生可以对超穷归纳法有更深刻的理解，如果说学生在实变函数中对超穷归纳法的运用尚很生疏，那么通过Hilbert空间基底存在性以及Hahn-Banach延拓定理的证明，学生对它应该不会再感到陌生了。

4、延拓定理的重要性。在空间理论中，老师已经对Banach空间与Hilbert空间之间的重要差别做了初步介绍。如所介绍，任何Hilbert空间都有正交基，换句话说，我们可以在Hilbert空间中建立直角坐标系。在一般Banach空间中就没有这么好的运气了，如果一个空间中无法建立坐标系，不难想象，关于这个空间中几何的研究将变得很复杂，因为你很难将几何问题转化成代数问题从而借助代数方法处理。通过对延拓定理各种形式的介绍可以发现，一个Banach空间上全体有界线性泛函组成的空间（称为该空间的共轭空间）实际充当了坐标的角色，共轭空间的重要性由此可见一斑。

5、延拓定理的几何意义。老师可以视情形决定对这个问题介绍到什么程度，可以只作直观描述，也可以做详细证明。

不知为什么又不能直接输入公式了？郁闷-ing