本已是陈年旧事，没想到科学网又为卷积争执了起来，而且还因为我的一篇《大话卷积》跟我老人家联系了起来。最近本大侠正在为被科学网打入冷宫而郁闷与深刻反省，若不是读到吴老的一篇博文，还真不知道这里再次因为卷积而热火朝天。

邹谋炎先生的精选博文从卷积的争论看到了科技进步的艰难的确眼光深邃、独到。邹先生认为“科学应该是严谨的，而严谨的基本特征是尊重事实。”善哉，本人深表赞同，所以想首先弄清楚一个事实，两个数组是如何定义它们的卷积的？

邹先生在其博文中举了个例子要余昕博主正面回答：

例：给定两个数组，x = [1 3 2]; y=[2 0 1 5]; 计算它们的卷积。吴先生称“卷积就必有周期循环或周期衰减循环的特性。”如果吴先生的说法是“严谨”的，请用这个例子解释“周期循环或周期衰减循环的特性”如何理解？

这个例子该算得上一个数学问题了吧？可以我粗浅的数学知识，却不知道两个数组的卷积是如何定义的，尤其是两个“长度”不一样的数组，该如何定义它们的卷积？也许有物理上的定义？科学是严谨的，只有在明确了概念的内涵之后才有讨论问题的可能，所以这里想求教于邹先生，能否给出这两个组数“卷积”的定义？无论是物理的还是数学的都成。

在我脑海的知识库中，只知道离散与连续两种情况下的卷积，离散情形指序列，连续情形指通常的函数。关于卷积的背景有很多，可以从数学的角度，也可以从物理的角度，有意义的科学问题未见得都来自某个特定的学科。例如泛函分析的产生更多来自数学自身的发展，可后来人们发现它与量子力学有着深刻的联系，但你不能据此认为泛函分析来自于量子力学。卷积的确有深刻的物理背景，傅里叶分析的产生与发展也与物理有关，但如果说卷积的源头只有物理恐怕有点武断，傅里叶分析完全可以离开物理世界而独立存在，例如对傅里叶级数收敛性问题的讨论产生了Fejer核的概念，并因此出现了卷积运算。自然界中但凡具有周期性的现象大多可以借助傅里叶分析，傅里叶级数的收敛性完全是个数学问题，由此而产生的核函数理论是数学上的一大创举，没有核函数理论，很多数学与物理问题很难得到解决。

作为一种运算，卷积起源于什么？这个问题我没有细加考证，如果从傅里叶分析的发展看，卷积运算完全可以摆脱物理概念而独立存在。当然，很多物理现象可以归结为卷积，而且“卷积”这个名词也许最早诞生于物理，系统瞬间的冲击响应就与卷积有关。

研究卷积的意义何在？要说清楚这个问题，就要弄清楚傅里叶分析的意义何在。物理中具有某种周期现象的问题通常可以用两种方式表达，一种基于时间域，另一种基于频率域，沟通两种域的媒介就是傅里叶变换。在Hilbert空间中，傅里叶变换是保范变换，换句话说，它保持能量不变。众所周知，傅里叶变换保持加法不变，那么在傅里叶变换下，时域上的乘法对应到什么？熟悉一点数学的人都知道，它恰好对应频域上的“卷积”。

学术讨论产生争鸣不是坏事，在科学网上对一些成熟理论或概念产生争议也属正常，因为博主们分别来自不同的领域，从不同的角度看问题自然会有不同的见解，似乎没有必要上纲上线。你看到大象的尾巴，不能要求别人看到的也一定是大象尾巴，除非你把大象整个的形状看得清清楚楚，这样可以给大家上一堂启蒙课。卷积堪称数学与物理完美结合的典范，如果你没有对数学与物理相关理论的全面了解，就不要说你了解卷积的前世今生，更不要轻易否定别人的观点。

当然，我赞成一种观点，数学不应该远离自然界，虽然我从事的是纯数学。