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很多人认为,积分教学的关键是教会学生如何进行积分计算,其实不然,计算固然重要,但积分理论同样蕴涵深刻的数学思想。
在微积分理论产生之前,求曲线所围图形的面积是一类十分困难的问题。事实上,在阿基米德和伽利略时代,面积、体积与曲线长度的计算对普通人来说是件奢侈品,只有天才的数学家才敢于挑战。解决这类问题往往需要非常高超的技巧。只有在巴罗(Barrow,牛顿的老师)发现了微分与积分的内在关系并由牛顿与莱布尼兹发展成一套完整的微积分体系之后,上述问题才开始变成大众化的问题,对于普通人来说,计算面积、体积与曲线长度再也不是一件可望不可及的难事了。
传统的教材通常是首先介绍不定积分,在介绍了各种积分技巧后才来介绍定积分及微积分学基本定理,这样的安排有两个明显的缺陷:1、与积分理论的发展历史不相符。历史上实际上是先有了面积概念(定积分),原函数概念是后来产生的,面积问题一直可以上溯到欧几里德时代。按照教材中的顺序难以尽述积分理论的来龙去脉。 2、不定积分与定积分内容部分重复。学过微积分的人都知道,学习不定积分时需要熟悉若干积分方法(分部积分、换元法等),学习定积分时还得再来一遍(当然,此时的侧重点在于积分上下限的确定问题),显得不那么干净利索。其实我们完全可以将不定积分、定积分合二而一。
如果我们从距离(或面积)问题出发首先引入定积分思想(分割求和),通过各种实例说明实际计算的难度,然后再引入原函数概念,寻找分割求和与原函数之间的内在关系,马上可以得到微积分学基本公式。实际可以这样进行:
直边图形的面积,如矩形的面积、三角形的面积、多边形的面积已经熟悉了。 然而,求一般图形的面积并不是一件容易的事。 回忆在处理一般函数时,常用函数曲线上一点的切线段代替曲线段。这一思想可以帮助我们处理一般的面积问题。具体地说,我们可以局部地利用矩形来代替一般区域,可以通过几个具体的例子阐述这一思想。
通过距离与面积问题的探讨可以发现处理这类问题的共同点,以距离为例,设物体t时刻走过的路程为S(t),那么物体从t0时刻到t1时刻走过的路程为S(t1)-S(t0)(引入原函数概念)。又假定物体t时刻的速度为v(t),按定积分定义,物体从时刻t0到时刻t1所走过的路程为速度函数v(t)