作为微积分的重要组成部分，函数的导数与微分相对于极限及积分要容易处理一些。很多老师将主要精力放在如何计算函数的导数与微分问题上，常常忽略了与导数相关的深刻的数学思想。

        在函数的极限部分已经初步接触了导数的思想（如计算物体运动的瞬时速度等），这里可以稍微系统地介绍导数产生的背景，他对于学生真正理解导数与微分的内涵有着重要意义。

       历史上导数概念的产生源于几何、物理中几类典型问题：1、沿直线运动物体的瞬时速度；2、沿曲线运动物体任意时刻的运动方向（如确定抛射物某个时刻的运动方向）；3、光的反射；4、曲线上一点处的切线。可以通过具体的例子阐述解决这类问题的一般方法，从中发现他们的共性进而归纳出导数概念。换句话说，导数是从许多实际问题中抽象出来的概念，它摆脱了各种繁锁的实际背景，以便于我们从纯数学的角度进行研究。在此可以从方法论的角度适当展开，事实上导数概念的出现正是一个从特殊现象到一般规律的成功发现的典范。它告诉我们如何从各种纷繁复杂的自然现象或社会现象中发现某种共同的东西，并加以提炼形成一套普遍适用的理论，再反过来运用于各种实际问题的研究。如果我们将导数概念再次运用于实际问题中，将会发现，诸如功关于时间的变化率（功率），化学反应中反应物的浓度关于时间的变化率（反应速度），某种商品的制造商对每天制造x件产品的成本关于x的变化率（边际成本）等等重要的量都是这里所说的导数，可见导数概念是多么重要。从导数概念的建立可以看到，从特殊到一般，从具体到抽象的归纳与概括能力是发现和建立各种理论的一项基本能力。

    求导法则的教学没有多少悬念，需要重点交代的是复合函数的链法则以及隐函数、含参变量的函数、反函数的求导法则，这部分需要多做些练习。相对于极限与积分的计算，导数的计算要相对容易些，学生只要细心，不会感到太为难。

    知道一阶导数，高阶导数自然不难，但要说清楚为什么要考虑高阶导数，以往老师们也许不太注意这个问题。可以先从一个具体的例子开始，在自由落体方程h=1/2gt²中，g是重力加速度，也就是落体的速度关于时间的变化率。而速度是落体的高度关于时间的变化率，于是我们也可以说，加速度是落体高度关于时间变化率的变化率。 从几何上看，函数在一点的导数是函数在该点切线的斜率，如果我们要做近似逼近的话，那么曲线在一点的切线是在该点附近最接近曲线的直线，因此只要精确度要求不高，近似地可以在该点附近用切线代替曲线，特别是当距离切点很近或曲线弯曲程度不大时，这种近似还是很有效的。 然而，如果要在更大的范围内用我们熟悉的特殊函数逼近一般函数，或者在给定的范围内（这个范围也许较大）逼近一个函数，线性函数（直线）显然是不能如我们所愿的， 此时我们可能需要比线性函数更一般的函数。这就要求我们对函数的特性作更深入的了解，如曲线是向上还是向下弯曲？在什么地方拐弯？等等，弄清这些问题将依赖于函数的更高阶导数。

   在函数的高阶导数中已经涉及了一个基本思想：近似地在曲线上一点的附近用切线代替曲线，这就是微分的思想。微分思想对于函数的近似计算是非常重要的，事实上，设 y=f(x)，若 f(x)在x₀ 点可导，则其曲线在 x₀ 点处的切线方程为

     y=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)，                （*）

  记 f(x)=f(x)-f(x₀)为 y=f(x)在x₀点附近的增量，则f(x)=f(x₀)+f(x)，

  记x=x-x₀，则切线方程可以写作

             y=f(x₀)+f'(x₀) x ,                 

于是

           f(x)-(f(x₀)+f'(x₀)x)=  f(x)-f'(x₀)x      （**）

 

显然，当x 0时，(**) 式也趋于0 ，不仅如此，由导数的定义可以看到

    [f(x)-(f(x₀)+f'(x₀)x)]/x=f(x)/x-f'(x₀)0(x0)。

       这说明 (**) 是比x 更高阶的无穷小量。因此当x很小时，切线与函数曲线的误差也是很小的，这正是我们对函数进行近似计算的基础。 也就是说，如果函数y=f(x)在x₀点的值容易计算，但计算其它点处的值是困难的，则在x₀附近，可以用线性函数(*) 来替代f(x)。紧接着不妨通过几个实际的例子阐述上述思想，在此基础上引入微分的数学定义。至于微分运算法则，在找到了导数与微分的关系之后，这些法则就是很自然的了。

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