极限概念之后紧接着的是函数的连续性问题，相关的问题有这样两类：1、连续与间断的定义、间断点的类型；2、连续函数的性质。

连续函数的概念本身并不难理解，只要理解了函数极限概念，连续性概念是顺理成章的事，所以在概念上不需要花大力气，间断点的类型也好理解。但如果我们据此认为连续函数的教学很简单就错了，这里依然有一些难点问题，有些问题甚至是传统的微积分解决不了的，需要依靠后续的“实变函数论”才能解决。例如，如果要一个函数Riemann可积的话，它最多可以有多少间断点？这个问题传统的微积分就解决不了。对于非数学专业的学生来说，他们几乎没有机会接触新型的积分理论，所以我倒是觉得在这一部分不妨多说一点，但理论性不可以太强，否则学生就只能当天书来听了，可以采用类似科普的方式来讲授。

人们常常把连续函数想像成一个连续不断的曲线，教材上的例子也大多如此，但如果我们认为连续函数就是这个样子就大错特错了，连续函数也可以很古怪，著名的皮亚偌曲线就是个典型的“病态”连续函数，因为它的图像充满了一个矩形，换句话说，这个函数把一个区间映成了一个矩形，你能想像吗？可它的确存在（这或许也可以看作芥子纳须弥的一个例子，有限的矩形包容了无限的曲线，当然，量纲不同了，有限的矩形指面积，无限的曲线指长度）。不过我们没有必要详细介绍这个曲线的构造，既费时间，学生也未必能真正听懂，最多可以介绍个大概，然后建议有兴趣的同学去看看相关的书籍，如《分析中的反例》就是本不错的参考书。或许有人认为对非数学类的学生没必要讲这些，数学专业的学生都未必讲这个曲线。我不这么看，我们往往习惯于从正面介绍一种理论，可是反例对于理解一个概念或一种性质常常能起到事半功倍的作用，从另一个角度说，反例是构造者智慧的结晶，很多正面的结论我们可以按照逻辑逐步推演出来，而反例通常是反常态的，蕴藏着一种奇思妙想，了解他们既是一种数学欣赏，对于学生的智力挖掘也能起到一定的作用，历史上很多重要的反例都是天才构造出来的。函数真的是一个花花世界，千姿百态，绥阳兄介绍的Weierstrass函数就是个处处连续处处不可微的函数，而在此之前，即便是Gauss这样的大家对此也有点茫然。事实上，一门完整的学科应该是由理论与反例共同构成的，反例是其中不可分割的一个组成部分。遗憾的是，我敢说，我们有些数学教师自己都未必知道历史上许多侩灸人口的著名例子，你若不信接着往下读。

再来说间断，不连续自然就是间断了，间断点的类型每本微积分教材中都有详细论述，无需我多说，这里想说的是，你除了知道Dirichlet函数这种极端病态的函数（处处不连续）外还知道多少间断函数？有人说：“我还知道分段函数可能是间断的。”没错，我们常常用分段函数来构造间断函数，可你能说清楚函数有多少可能的间断点吗？处处间断已经有了，有限个间断点也很容易构造，此外呢？你还知道多少？就拿我们熟悉的数来说吧，有无可能存在在有理点间断、在无理点连续的函数？存不存在在无理点间断、在有理点连续的函数？如果有，你能构造出来吗？如果没有，你能证明吗？我们对学生当然可以不作这样的要求，但身为大学数学教师，不管你是教数学专业的学生还是非数学专业的学生，如果这样的问题都回答不了，你站在讲台上不感到心虚么？如果学生课后问你类似的问题，你真的可以用一句：“这个问题我不作答”就能应付过去吗？

通过上述几个反例，我们可以进一步展开，适当介绍一下“实变函数”中的奇异函数（导数几乎处处等于0的函数），这里可以先介绍构造，分析它的间断点，待讲了导数概念后再来阐述它的奇异性，因为奇异函数是实变函数理论中一类具有代表性的函数，学生也比较容易理解，它不过是构造有限个间断点的函数的简单延伸。当然，关于函数有多少间断点的问题的确是个很复杂的问题，在微积分教学中不适合详细追究，但适当介绍典型的反例我认为是需要的。它可以帮助学生更深刻地认识连续与间断。

连续函数的性质很丰富，也非常具有实用价值，《高等数学》教材中一般只介绍闭区间上连续函数的性质但不介绍它们的证明，主要原因是这些性质的证明中用到实数理论中一个著名原理：有限覆盖原理（其实有限覆盖原理、区间套定理、聚点原理都是等价的），《高等数学》教材中是不介绍这个定理的。然而，这一理论之重要几乎覆盖了数学的每个领域，学生不知道实在有点遗憾，我们完全可以采用直观的方法介绍这一原理，至少学生对区间套定理在理解上不会有任何难度。关于这个问题我已经在《抽象的数学思想与方法也可以直观表达》 （http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=223611）一文中做了比较详细的介绍，这里就不重复了。

连续函数的性质对于方程的求解具有重要意义，它在理论上保证了我们在进行数值求解时近似解的收敛性。这里要强调的是，传统的教学中基本不涉及求近似解的问题，最多举几个证明方程解的存在性的例子，然而，对非数学专业的学生来说，求近似解往往更具有现实意义，所以这部分应该强化数值计算的教学，最好顺便介绍如何编制求解程序并上机计算。

由此可见，一个大家平时认为比较简单并不怎么看重的部分要处理好也不那么容易。