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为什么高中数学要学常用逻辑用语?

已有 1136 次阅读 2023-1-24 20:32 |个人分类:数学|系统分类:教学心得

    逻辑学是哲学的一个分支。在高中阶段,数学必修第一册第一章要求学常用逻辑用语。思想政治课选修教材里也有对逻辑知识的介绍。

    显然逻辑并不只适用于数学。我们写一篇议论文,有论点、论据、论证,当然要讲逻辑。但是如果说哪门学科和逻辑联系最紧密,多数人还是会说是数学。这是因为数学对逻辑严谨性的要求最高,解决数学问题也完全离不开逻辑。

    当然,逻辑并不简单。在大学,数理逻辑是计算机类专业的必修课,却不是数学类专业的必修课。但是我有幸在大学选修了数理逻辑课,在学完一阶谓词逻辑之后,此前我心中关于逻辑的全部疑问,都得到了完美的解决。因此公允地说,数理逻辑课让我受益匪浅。我建议数学类专业本科生,特别是有志于从事数学教育的本科生,应该选修数理逻辑课。(其实我觉得数理逻辑课应该作为数学类专业的必修课)

    数理逻辑深刻同时又很难,高中生学肯定是完全不合适的。但是高一数学学完集合知识之后,立刻就接着学常用逻辑用语,这个位置非常恰当。学生在初中已经积累了一定量的数学知识,同时也经受了推理证明的初步训练,已经无形中使用了若干年严谨逻辑。到高一把这些无形中在用的东西明确点破是水到渠成的,学生完全有能力也有兴趣去理解。教材这几节内容中的例题和习题,也多采取初中已学过的知识为背景,本身又是一个好的“温故而知新”。

    下面我们看看高一的常用逻辑用语到底学了些什么:在新课标下,常用逻辑用语主要包括三部分内容:量词,命题的否定,充分与必要条件。

    关于“任意”“存在”的说法,学生在初中也已经接触过。高中一上来学集合。在掌握集合概念的基础上,我们很多时候就不是针对某个特定的对象讨论问题,而是针对某个集合中的全体对象讨论问题。因此后续的很多命题都将是全称命题或者是存在性命题。量词概念的引入,揭示了这些命题的共性。

    命题的否定通俗的讲就是“说反话”。学生在初中已经有判断命题真假的经验。在引入命题的否定概念之后,判断一个命题的假就转化为判断它的否定的真。因此判断命题的真假,就可以统一的处理为判断真命题。而全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题,这就使得学生真正理解“举反例”这种操作的正确性。此外,学生在初中时即已接触的反证法,在高中将会得到广泛的应用。而明确命题的否定之后,反证法到底是怎么个反证,学生也有更深入的理解。

    充分和必要条件则是在刻画命题的强弱。当然充分与必要条件不仅适用于数学。学习充分与必要条件的概念有助于学生用更简洁的语言刻画在各领域普遍存在的“有我必有你”现象。从学习数学的角度看,充分与必要条件为分析法和综合法证明打下了基础:分析法是从结论出发找充分条件,综合法是从条件出发找必要条件。于是在具体证明过程中常常要借助充分和必要条件实现命题的转化。学生再做具体证明时,就会增添一点目的性。

    旧课标中关于逆否命题的内容在新课标中被删掉,我觉得问题不大。过去学逆否命题,必须分清大前提,条件,结论,然后再对条件和结论分别否定,经常把学生绕进去。现在索性不学了,反正需要用逆否命题的地方都可以用反证法来代替。但是旧课标中关于“且”和“或”的内容被删了,我觉得有点可惜:“且”和“或”作为逻辑连接词的重要性丝毫不亚于“否定”,不学的话很多地方都说不清。

    




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