最近，科学网博主李斐老师问了我一道几何题：

请教一个问题：三维空间有界几何体，如果任意平面和它的截面是一个圆面，那么该几何体是一个球？怎么证明？

与科学网博主尤明庆老师讨论后，我简化了证明过程：

取一个平面alpba与几何体截成圆面，设圆心为O，任取一条直径为MN。过圆心O做平面alpha的垂线AB，它与MN确定一个平面beta，设beta与几何体截成一个圆面，设圆心为O'。由于线段MN是圆面O'的弦，所以O是圆面O'的内点，因此直线AB一定与圆面O'的表面交成两点A,B. 

在圆面O'中，MN和AB都是它的两条弦，而且AB垂直平分MN，所以AB是圆O'的一条直径。在平面beta内，任一点P属于几何体等价于P属于圆盘O'，等价于O'P<=O'A.

由于MN是任取的直径，让它旋转，就能得到空间内任一点P属于几何体，等价于O'P<=O'A.

欢迎大家挑出证明的漏洞，或者找出更简洁的证明方法。