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题目:将0-9十个数字填入算式中:□□□+□□□=□□□□
一般来说小学生找一个答案估计就差不多了,比如:324+765=1089既是一个解,然后因为加数的各个数位上的数字可以对调,个位和十位数字也可以对调,这样这一答案实际上包含6种不同组合,也就是6个满足条件的等式,以下我们找出满足题意全部答案。
解答:首先得数的四位数第一位应该是1,所以设xyz+uvw=1abc其中各个字母在集合D={0,2,3,4,5,6,7,8,9}中取值x≠0,u≠0且两两不重复。
将等式写成:100x+10y+z+100u+10v+w=1000+100a+10b+c
也就是:100*(x+u-a)+10*(y+v-b)+(z+w-c)=1000
显然:10|(z+w-c),这样得到:z+w-c=0 or 10
如此可以推出满足题意的答案满足下列四个方程组之一:
1、z+w-c=0;y+v-b=0;x+u-a=10
2、z+w-c=0;y+v-b=10;x+u-a=9
3、z+w-c=10;y+v-b+1=0;x+u-a=10
4、z+w-c=10;y+v-b+1=10;x+u-a=9
首先证明2和3两个方程组无解,以方程组2为例:变型为z+w+c=2c;y+v+b=10+2b;x+u+a=9+2a,三个等式相加,左边为集合D的元素之和44,右边为19+2(a+b+c),两边奇偶性不同,所以无解。
其次解方程组1和4,
对方程组1:z+w-c=0;y+v-b=0;x+u-a=10,其中未知数都在集合D中取值,首先必有a=0,否则因为x≠0,u≠0,所以其他未知数有一个要等于0,比如z+w-c=0中如有一个为0,则等式无解。
当a=0时,有x+u=10,所以(x,u)∈{(2,8),(3,7),(4,6)}
对(x,u)=(2,8),D{0,2,8}={3,4,5,6,7,9},无法找到满足z+w-c=0;y+v-b=0的解
对(x,u)=(3,7),D{0,3,7}={2,4,5,6,8,9},有2+6=8,4+5=9满足要求,这样找到一组解以324+765=1089为代表
对(x,u)=(4,6),D{0,4,6}={2,3,5,7,8,9},有2+7=9,3+5=8满足要求,这样找到一组解以423+675=1098为代表。
对方程组4:z+w-c=10;y+v-b+1=10;x+u-a=9,采用穷举法(懒得弄了)。
答案是:
84 3+75 9=1602
62 4+87 9=1503
42 6+87 9=1305
最终结果:3 24+7 65=1089;4 23+6 75=1098;84 3+75 9=1602;62 4+87 9=1503,42 6+87 9=1305每组可以衍生出6个结果,所以一共有30个解。
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