20世纪的自然科学理论发生了革命性的变化，人们热衷于列举相对论、量子力学等新学科的创立，谈哲学思想上的变化。

       但是，这类说法，对于具体的科学研究者，尤其是传统学科的研究者，人们几乎没有感觉。只是到了20世纪后期，随着非线性、混沌等概念被传统学科所采用，才多少有那么一点感觉。但这类感觉是如此的不确定，以至于我们总是用怀疑的眼光看待这类改变。我们对于牵强的把现代科学概念套用到传统学科上始终是持抵制态度的。

       只是到了21世纪初期，随着传统学科的基本理论被流形上的代数描述所取代，我们才发现，传统学科基础理论的革命已经完成。21世纪的实质问题是用革命后的理论替换传统的理论（这是抽象描述的升级，而不是否定；其低阶近似就是经典理论）。

我们总结20世纪的理论演化，可以概括出这个结论：20世纪科学革命的核心是运动的概念。这个概念的引入是非常的简单和直接。

F(x)=F(x₀)+F’(x₀)(x-x₀)+(1/2)F”(x₀)(x-x₀)²+…….

罗朗级数展开！表达一个运动：1）需要一个参考状态F(x₀)；2）需要知道其导数所确定的线性变化（斜率）；3）需要知道其高阶导数变化（曲率）。

取线性近似，就是经典的高等数学，dF=F’dx。在自变量、因变量为向量时，F’为矩阵，从而进入张量或群论范畴。这是20世纪中期以后的运动概念。被称为希尔伯特空间上的微积分概念。但是，它只是中间的过渡期。

在这个基础上的扩展就是：dF=F’dx+(1/2)F”dxdx。这样，空间概念就改写为流形。对dx的解释为切空间，对dxdx的解释为法空间。

在高等数学中，以极限的概念论证，在dx足够小时，dF=F’dx在给定的精度内成立（在西格玛、以普西楞语言下）。

在流形的描述中，要求：F(x)=F(x₀)+F’(x₀)(x-x₀)+G(x₀)(x-x₀)²严格的成立。从而G(x₀)并不是高阶导数，而是解释为流形的内在空间性质。其低阶近似G=0就是经典理论在空间上的运算规则。

在经典理论中，二阶导数项F”的方程（数理方程）就是基本的运动规律。而20世纪后期的理论则把经典理论的运动规律看程是G的性质，从而研究运动G’(x,x₀)。并称有关G’(x,x₀)的数理方程为一般运动方程。

把经典理论的基本运动规律（数理方程表达）变成为空间的几何性质G就是科学哲学上谈的现代科学理论的几何化。而研究其变化G’(x,x₀)的理论就是现代科学理论所特有的，是经典理论没有的运动概念。

在采用流形概念后，在形式上，经典理论没有变化，但是在运动及其计算的表达方式下则出现了革命性的变化。

我们可以看出，20世纪的有限元法（以及变分法）是个中间的过渡期。现在，过渡期已经结束了。

对各国高校来说，如何用21世纪的流形数学语言重新论述经典理论的内容就是一流还是二流教学水平的竞争。

如果我们固守经典理论的基础运动概念F(x)=F(x₀)+F’(x₀)(x-x₀)，则很自然的会抵制和批判F(x)=F(x₀)+F’(x₀)(x-x₀)+G(x₀)(x-x₀)²类的运动概念。从而人为的制造出经典科学理论与现代科学理论的矛盾。

我前篇博文谈我国教科书的向后退指的就是这层意思。而何为向前进显然是不言自明的。