《公共物理学导论》第二章：物理学家怎样看世界（节选）

我们在上一章里简单地讲述了物理学家怎样“量”世界，现在再来讲一讲物理学家们如何“看”世界。或者说，物理学家有怎样的“世界观”。

我们周围的物理世界是千变万化的。而物理学就是在这变化的现象中寻求物理世界的本质——物质运动的一般规律。而物理世界最基本的规律是时空不变性导致的能量—动量守恒定律。我们就从这里出发来介绍物理世界的基本规律。

2.1物理学规律的时空不变性

      物理学规律的最基本的性质是“时空平移不变性”。整个物理学的大厦都是建立在这一基石上。

      物理学规律的“时空平移不变性”，可以表述成：如果某一规律在t时刻成立，那么在t’=t+t也一定成立；如果在某一点x成立，那么在x’=x+x也一定成立。【我们在这门课程中用F来表示一个“函数”F的变化，特别是“小”变化。】通俗地说，所谓“时空平移不变性”，就是我们今天在这里做实验得到的结果，与无论什么时间在无论什么地点做的同样实验得到的结果，一定是相同的！今天在北京做实验，结果是这样；明天去纽约做同样的实验，结果一定也是这样。

      很显然，这一“时空平移不变性”不仅对物理学规律，对客观世界的所有“普遍规律”都是成立的。所谓“天行有常，不为尧存，不为桀亡”就是这个意思。因为只要是“普遍规律”，就一定是“万古不易”的，今天如此，明天一定也如此，才叫“有规律性”；而且是“放之四海而皆准”的——在中国如此，在外国也如此，才称得上“普遍性”。这是最基本的常识。

      物理世界最基本的规律能量—动量守恒定律就是由时空平移不变性得到的。物理学就是建立在这样的人人都可以理解、接受的常识的基础上。所以，物理学是最简洁、明了的学问。

2.2 能量—动量守恒

      物理学规律是时空平移不变的。这种“不变性”（Invariance），反映了在过程中一定存在与这种不变性相应的“不变量”（Invariant，通常译作“守恒量”），对应的定量关系，我们称为“守恒定律”。那么，物理学规律的时空平移不变性对应着什么“守恒量”和“守恒定律”呢？

我们先来看物理学规律的时间平移不变性对应的守恒量所应该具有的性质。

自然界的现象总是随着时间千变万化的：日出日落、月盈月亏，春夏秋冬、一年四季。可是我们长期地进行观察，积累数据、分析规律，会发现在这些随时间变化的现象中存在着一个不变的量——即周期：日出日落的周期是24小时，月盈月亏的周期是29天左右，春夏秋冬的周期是365天多一点，等等。也可以说，这个不变量是“频率”，即单位时间里同一事件会出现多少次。比如，日出日落的频率大约是365.25次/年，等等。在物理学里，我们更喜欢用“频率”来表示这个变化过程中对应“时间平移不变性”的“不变量”。

一般地，我们可以假设这个守恒量是I。如果我们在一个特定时间区间上对这个守恒量进行测量，那么测量的时间越长，误差就越小。也就是说，我们等的时间越长，越能证明I是时间平移不变量！比如我们看一个数字显示的表。如果其数字显示以分钟为单位，看第一眼，显示一组数据；几秒种后再看，还是这组。这样在小于一分钟的时间间隔里看几次，表面的显示不变。我们能说这组显示是一个“守恒量”吗？显然不能！过几分钟再回来看，表面的显示早已是“面目全非”了！我们测定地球公转一周（一“恒星年“）周期，准确到今天的365天又6小时9分10秒，就是经过了天文学家千百年的不断测量。而且这个测量如果要精确到误差为微秒、纳秒的数量级，可能还要不知经过多少年。（更不要说一个“回归年”的测量与上面的“恒星年”测量的“误差”是将近20分钟。）真正从测量上完全确定一个量为时间平移不变量，理论上是需要等无穷长的时间的！即 t →∞，才有 I→0。写成数学的形式，就是 I t 是一个有限量。我们进一步把这个关系记成 I t = C，也就是说，对时间平移不变量 I进行时间测量时的误差 I与测量时间 t的乘积是一个常数（Constant），C。这个等式也可以解释成：我们在极短的时间里，并没有理由来确定I是一个时间平移不变量。时间间隔越短，越无法确定。也就是说，短时间里不变不能说明长时间里也是不变的。

这是理想测量情况，实际的测量会有“操作”的、以及“仪器”（或者方法）本身的误差，所以我们得到

           I t >= C。                                                         （2.01）

这就是与时间平移不变性所对应的不变量（即守恒量）所应该满足的关系。

【必须说明的是，上面的论述过程不是一个精确的、逻辑的证明，而仅仅是一个“合理的推断”。一个理论模型的建立，常常要先从这些“合理推断”出发，得到初步的结果，再进行严格的证明。这种研究问题的方法对非物理领域的科学工作者们也是非常有用的，特别是在着手建立初步模型的时候。】

我们再考虑对于一个一般的随时间变化量的一般时间测量。

我们可以将这个测量的结果表示为F(t)。对时间变化量，特别是非单调的周期性时间变化量的特征时间尺度，我们一般用其特征频率来表示。一个复杂过程通常存在不止一个特征时间尺度。比如

      F(t) = A₁ cos₀t + A₁₀ sin10₀t                         （2.02）

就有两个特征时间尺度：一个“慢变”的、比较长的时间尺度 ～1/₀，和一个“快变”的、相当短的时间尺度 ～1/(10₀)。表征这样的函数，更方便的办法是变换到“频率空间”。也就是说，用函数 F(t) 在不同频率上的“分布”f() 来表示这一过程的时间特性。比如上面（2.02）给出的函数我们可以表示成

           f(₀) = A₁，  f(10₀) = A₁₀ 。

这里， f() 是时间函数F(t) 在频率空间的变换函数，表示F(t) 的不同特征时间尺度上的“分量”的“权重”—— 其 = ₀ 分量的贡献是A₁，而其 =10 ₀ 分量的贡献是A₁₀，等等。则我们称：f()是F(t)的Fourier变换（见附录2A）。

显然，时间测量的精度越高（即最小的那个可能达到的 t 越小），则得到的 f() 的“频谱宽度”（即f() 在频率空间分布的区域）越大。因为，只有测量时间间隔足够短，才有可能“看到”那些“高频”的变化特征。在长时间测量间隔的情况下，我们无法看到两次测量间的那些高频振荡的过程。比如游乐场的旋转木马。我们守在旁边看，可以知道旋转木马在转，而且估计出旋转频率是大约是1分钟多少圈。相比每分钟三五圈的转速（频率），我们用眼睛“看”相当于时间测量间隔小于1秒的“高精度”测量。但是我们如果用相机隔一小时拍一张快照，也许可以发现每次拍照到的是不同的位置，但是这与拍照几个小时转一圈的“慢旋转”得到的结果是很难区分的。

而另一方面，总的测量时间t 越长，单一“谱线”的宽度 就越窄。因为长时间的测量才能准确地得到某一变化形式的频率，比如日出日落的频率、月亮盈亏的频率，等。

因此，从时间和频率的关系容易得到，t = 2。计及真实的测量误差，我们得到

           t >= 2。                                                      （2.03）

比较（2.01）和（2.03）这两个结果，我们可以认为，至少在相当一般的条件下，时间平移不变的守恒量在波动形式下可表示为

           I = C/ 2。                                                              （2.04）

即对于波动过程来说，这个守恒量应该与频率成正比。

一个高频的（快速变化的）“扰动”会使得一个系统处于不停的运动状态；但是一个低频的（缓慢变化的）的“扰动”下系统则相对“慢腾腾”地变化。所以我们把具有上述性质的这一表征时间平移不变性的守恒量I起个名字，称作“能量”；一般记作E（Energy）。

【在自然界中，“能量”这个守恒量最小可以小到 h/4，h是Planck常数。我们得到对能量进行时间测量的精确度的限制条件：E t >= h/2。即著名的Heisenberg不确定性关系。】  

      能量守恒是物理规律时间平移不变性导致的，而只要是规律，一定是时间平移不变——所谓“天不变，道亦不变”，说的就是这个时间平移的不变性。所以：

一，能量守恒不会被破坏，除非物理世界本身没有规律——所以一切制造永动机的企图都是徒劳的；

第二，只要是规律，一定有其自己的“能量”守恒定律——问题如何找到这个相当于物理学中“能量”的这个守恒量的具体形式。

上面的讨论的一个重要特点，就是将测量引入物理学——而“测量”，就是物理学家们的“实践”。

关于空间平移不变性导致动量守恒的讨论是完全类似的。 【作业】