补充：物理所刘寄星老师留言说：“Vlasov不是数学家而是理论物理学家，当过多年莫斯科大学理论物理教研室主任，他是当年赵凯华先生在苏联留学学等离子体理论的指导教师。”笔者Google了一下，确实，他在1945-1953年任莫斯科大学物理学院（Faculty of Physics）理论物理系（Department of Theoretical Physics）主任。

另：Vlasov方程的原始文献在：这里（俄文）。

寒假中整理下学期的讲义笔记，翻到“朗道阻尼”（Landau Damping）这一节，有一点新的感悟，写出来与同行和学生们分享。

笔者觉得，“朗道阻尼”的发现可以说是等离子体物理中最杰出的理论工作之一，但也是讲授等离子体物理时最困难的部分。目前能够看到的等离子体物理教科书，都没有把这一部分写好。

当年，苏联数学家Vlasov先生提出了著名的“Vlasov方程”（实际应该翻译成“Vlasov方程组”，因为还要包括自洽场的方程），奠定了等离子体物理的动理学理论基础。在物理上，这个理论相当于“自洽场”近似。在“数学”地求解这个方程组时，Vlasov利用平面波扰动，对方程做线性展开，得到一个积分—微分方程组；然后将这个方程组在分布函数的热速度附近展开，得到了所谓“Vlasov解”——在静电近似下，就是电子的“Langmuir波”和离子的“离子声波”。

但另一位苏联科学家，我们所熟悉的、大名鼎鼎的Landau先生，却指出“Vlasov解”是不完全的：在数学上只计算了积分的主值部分，却忘记了“奇点”——即速度分布的坐标轴上粒子速度与扰动波的相速度相等的那一点——的贡献。Landau提出的方法是：将沿着波矢方向的速度分布解析延拓到整个复（速度）平面。这样，这个奇点就成为被积函数在这个复平面上的一阶极点（在速度等于波的相速度处）。Landau指出，这样一来，“奇点”部分的贡献可以用此一阶极点的“半个”留数（residue，或译成“残数”）来计算。相速度等于频率/波数。因为空间是均匀的（平面波解已经隐含了均匀无穷大介质假设），则波数是实的。所以将速度解析延拓到复平面上相当于频率应该是复数——其实部是“实频率”，而其虚部则是“增长率”——负的虚部便是“阻尼”衰减率。对于Maxwellian速度分布，计算得到复频率的负虚部——即著名的Landau Damping（朗道阻尼）。

数学上，没有问题——Landau的工作一如既往地条理清晰、无懈可击。有意思的是：一个数学家提出了一个重要的物理模型，但是在数学上犯了错误；而一个物理学家纠正了这一数学上的错误，却在物理上留下了诸多疑问。

当年“朗道阻尼”提出的时候，就很难为物理学家们所接受——主要是因为：Vlasov方程本身是“无碰撞”的，可逆的；而“朗道阻尼”给出的指数衰减显然是“不可逆”的。UMCP的吴京生教授回忆过当年他读博士的时候，参加过的一次美国物理学会年会：一位报告人讲完他利用“朗道阻尼”做的一个工作后，一个非常有名望的物理学家站起来说：How many times do I have to tell you?! There is no such a thing called “Landau Damping”! ——我必须告诉你多少次（你才能记住）？！（世界上）根本没有“朗道阻尼”这码事！

尽管后来“朗道阻尼”被普遍接受了，但是对它的物理解释仍然很混乱，甚至连Wikipedia上关于Landau Damping的条文，都云山雾罩地说“The damping phenomenon is reinterpreted in terms of transfer of regularity between kinetic and spatial variables, rather than exchanges of energy.”

那么，“朗道阻尼”到底是一种什么物理机制？是何原因引起了“朗道阻尼”的“不可逆性”？

关于“朗道阻尼”的物理机制，普遍认为是波—粒子相互作用引起的。以静电扰动为例，当一种波扰动在等离子体中传播时，其静电势场会“捕获”与其相速度接近的粒子一起运动（即在波的坐标系中，这些粒子会在势场的“峰”之间来回“振荡”），形成相空间轨道的“岛”状结构。我们称这些粒子为“捕获粒子”（trapped particles）。经过一段时间的“相混合”，速度快于相速度的“捕获粒子”被减速、慢于相速度的被加速，使得粒子的速度分布函数在波的相速度附近被“展平”（flattened）。如果分布函数在这一区域是随速度递减的（一般都是这种情况，比如Maxwellian分布），则被加速粒子比被减速的粒子多，粒子们得到了能量——这些能量显然是波提供的。所以波被“阻尼”。反之，如果分布函数在波的相速度附近是随速度递增的，粒子们就失去能量，而波则得到能量增长起来。“朗道阻尼”的公式也说明了这一点——波幅的增长率与在波的相速度那一点粒子分布函数对速度的微分成正比。

显然，关键在于“经过一段时间的‘相混合’”。也正是这个“相混合”导致了“朗道阻尼”的“不可逆性”。

可是，关于“相混合”（phase mixing）的物理过程，几乎所有的教科书都语焉不详。

实际上，粒子分布函数被影响的区间宽度（即“捕获粒子”在相空间中形成的“岛”的宽度）与扰动静电势的平方根成正比。在线性理论中，最基本的假设是扰动的幅度“无穷小”（比起任意小的“平衡量”都小）。所以，笔者认为：第一，“朗道阻尼”的结果只是告诉我们在线性理论还成立的短时间内波的演化趋势，而“可逆性”要在远长于线性阶段的时间尺度才能探测（比如所谓“朗道回声”的实验）；第二，在线性理论框架下，因为粒子分布函数被影响的区间宽度“无穷”窄，不能简单地用粒子分布函数的“展平”来解释。

波—粒子相互作用本质上是“准线性”而不是线性过程。分布函数在波的相速度附近被“展平”也只能在准线性理论中被实际计算出来。而准线性理论所解释的不是单个的波，而是一个频带的“波谱”（当然这个频带的宽度远远小于其中心频率的大小）。且在准线性理论中我们已经做了“准线性近似”——忽略了“高阶起伏”，破坏了原来方程的“可逆性”；从而得到速度空间的“准线性扩散方程”——一个典型的“不可逆”方程。所以，用“相混合”的概念来解释很容易引起混乱。准确的说法应该是：分布函数在波的相速度附近被“展平”是速度空间的“准线性扩散”过程引起的。

有趣的是，“朗道阻尼”的物理机制与激光的原理是类似的。“朗道增长”（即“朗道阻尼率”为负数）的情况下，在波的相速度附近速度快的粒子比速度慢的粒子多——即能量高的粒子比能量低的粒子多——这是典型的粒子数反转！那些高能级的粒子会向低能级 “填充”，从而“激发”波。而在“朗道阻尼”的时候，低能级（速度慢）的粒子多，波在损失能量被阻尼的同时，把低能级的粒子“泵浦”（pump）到高能级。当然，在后一种情况下，如果没有外部的强“强泵浦”，在准线性近似成立的条件下只能做到分布函数的“展平”，即高、低能级的粒子数相等。

那么怎么可以做到“强泵浦”？最简单的方法是在等离子体中注入高能量的电子束——这样，电子的分布函数就成为原来的Maxwellian分布和在其中心速度处的非常窄的、接近delta函数的电子束Gaussian分布的叠加。这个分布函数在电子束中心速度处有一个峰，造成明显的“粒子数反转”。经过一定的调制，就会形成“激射”——Laser或者Maser。所谓“自由电子激光”，就是基于这一原理。

一般情况下，在粒子数的“反转分布”处最容易激发相速度与其“共振”的“本征模”（eigenmodes）。但是，人们发现：“朗道阻尼解”只是“简正模”（normal modes），并非等离子体的“本征模”。只有考虑碰撞，然后令其趋向零，“朗道阻尼解”才成为等离子体的“本征模”。而“碰撞”的意义在于：带来“不可逆性”！