【日有所思】：发展与发展方程

预测经济、社会发展，特别是其中一些关键参数（比如人均GDP、人均受教育成都、人均寿命等）随时间的演化，一般需要建立模型、求解。这些模型基本上都属于抛物型方程：有函数随时间变化（一般是时间一阶导数，即只需要初始函数值这一初始条件），也有“自由能”的耗散（一般是对空间（包括参数空间）变量的二阶导数）。

典型的发展方程可以写成广义郎之万方程的形式：

等号左边，第一项是时间变化、第二项是线性增长、第三项是波动传播、第四项是耗散，右边是随机项——各种影响函数W变化的、可能没有预先想到或者想到了但很难定量描述的因素也可以归到这一项里。甚至非线性效应也可以先放在那里。方程里每项前面系数都是随时间、空间缓慢变化的，可以近似看成常数，并可以取不同的值（正的、负的、甚至0）。

依据这些预测来做决策，原则上就可以叫做依据科学方法的决策了。

但是，容易看出，即使是有这样通过科学预测得到的定量科学依据，时间长了，也要出现偏差。这牵涉两方面的问题：

第一，时空尺度问题。

所有的数学物理模型都是建立在一定近似的基础上。所以在一定的时空尺度上、一定参数空间内，这些模型是正确的。超过了这个限制，模型就要调整。我们写论文。审稿人常常要我们列出所做的近似和模型的适用范围，就是这个道理。不能觉得我有公式呀，就觉得怎么着都对。实践是检验真理的标准——在广义层面上，还有不断用新的实验数据修正模型的含义。                                    

第二、发展方程的性质和求解的方法。

即使模型原则上还适用，一些参数也需要随时间进行必要的调整。

我们看到，这些参数实际上是随时空变化的。可以把它们近似看成常数，是因为这些系数是随时空缓慢变化的，其变化的特征时间远远长于函数本身变化的特征时间、特征尺度远远大于函数本身变化的空间尺度。但是“缓变”不等于“不变”。时间长了，如果不修正，误差就会越积累越大。

再就是包含不确定因素、难预见因素、甚至各种非线性因素的“随机项”F(x,t)，理论上应当用上一时刻（比如上一年）的数据来“对冲”。所以对这一项的修正可能需要更频繁。股市基金对这一项的“对冲”几乎是每秒钟都在进行。一般的发展方程里，如果是预测年度变化的，这一项可能三五年甚至两三年就需要“对冲”一下。