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我的硕士论文——有限元直接迭代算法及其在电磁模拟中的应用研究
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【这是我的硕士论文，我还是比较满意的。在某些程度上讲，其创新性超过了我的博士论文。当然，由于经验不足，没有涉及实测数据的处理。
由于我的学校名气不够，当年并没有哪个期刊数据库收录我的硕士论文，因而没法让人下载。现在我把整理好的论文做成PDF格式放在这里，供感兴趣的同行们下载，希望能够给需要的人提供帮助。
这里整理的这篇论文的稿件是长江大学（原江汉石油学院）地球物理学院严良俊院长提供的。非常感谢严老师长期保留了我的论文的初稿！最后的正式稿在2005年北大博士后出站时的电脑帮家中随着“江汉石油学院”整个子目录被误删了。而我仅剩的一本印刷版在地质所研究生的传阅中不知落到谁的手里了。
由于不是论文的最终版，可能在论述方面有些粗糙。若有叙述不当而不好理解之处，请直接联系我。
再次感谢严良俊教授！】
论文摘要
有限元（FE）是数值分析中一种著名而通用的算法。随着计算机技术的发展以及人们所处理的问题愈来愈复杂，有限元本身在不断地发展。经典有限元编程复杂，对于大型问题要求存储量大，且求解速度慢，严重限制了有限元在三维问题中的运用。这些缺陷主要表现在刚度矩阵的形成、存储和求解上。
为了改进有限元算法的局限性，本文提出有限元直接迭代解法（DIFE）。该算法在本质上属于基于变分法的有限元。与经典有限元不同的是，该算法在求解微分方程的边值问题所对应的变分问题时，由泛函求极值过程中直接形成完全类似于有限差分的显式迭代格式，因此，称之为“有限元直接迭代算法”。由于避免了刚度矩阵，上述关于有限元的三个不足都有望得到解决；由于得到了在复杂模型下依然成立的显式迭代格式，该算法也为边值问题的数值解法提供了一种有效的插值手段。本文的第一章对有限元直接迭代算法的原理作了细致的讨论。以拉普拉斯方程为例，推导了二维情况下有限元直接迭代格式的统一公式，提出了基本结构概念。此外，详细研究了交叉对称网格下的一种基本结构，得到了九点迭代格式，并进一步提出了亚基本结构和关联基本结构等概念。在正方形网格剖分的均匀求解区域，基于拉普拉斯方程的有限元九点迭代格式的截断误差与剖分网格单元边长的六次方同阶。并通过实例计算验证了该算法的正确性。总之，有限元直接迭代算法既保留了经典有限元法的优点，又具有有限差分的基本特征，从而为有限元的应用开辟了一条新的途径。
由于有限元直接迭代算法具有有限差分的特征，在有限元的求解中，作者提出了一种有限差分线性方程组的快速迭代解法—自动网格剖分法(AGS)。自动网格剖分法的基本出发点是为迭代法寻找一种精确的初值。而迭代法求解线性方程组的过程可视为边界值的影响在网格节点上传播的过程，网格越粗传播越快，如果将粗网格上的解插值到细网格上作为细网格迭代的初值，那么细网格上每个点的初值一开始便带有边界的信息，因此是较好的初值。自动网格剖分法基于这个思路，从最粗的网格（剖分一次，只有一个节点）出发，依次求解插值，直到最细的网格求解完毕。第二章中作者以求解有限差分方程组为例，详细介绍了该算法的原理以及效果。
本文的第三章和第四章分别讨论了有限元直接迭代算法在大地电磁测深(MT)响应的二维正演计算和频率域线源响应的二维正演计算中的应用，在迭代求解线性方程组时，采用了自动网格剖分法。
在MT二维正演计算中，采用交叉对称网格和三角形线性插值基函数，首先得出了亥姆霍兹方程下的有限元九点迭代格式，并采用自动网格剖分－交替方向线松弛法求解有限元方程组。在求解辅助场时，本文提出一种新的方法，利用有限元直接迭代格式对原有网格进行剖分插值，最后求得地表三角形的三边中点的值，然后对该三角形上的二次插值函数求偏导，求得三角形上线性变化的辅助场。在边界条件的处理上本文采用有限差分的实现方式，简单方便，且有较高的精度。
为了考察有限元直接迭代算法在MT二维正演计算中的应用效果，本文专门讨论了采用该算法的MT二维正演程序的计算速度、存储量和精度，并与经典有限元和有限差分算法做了比较。实例表明，该算法在计算精度和存储量上是很令人满意的。尽管在求解小型模型时，该算法可能不如采用LDLT分解的经典有限元（矩形剖分和双线性插值）的求解速度快，但在求解大型模型时，该算法具有明显的优势，初步展示了该算法在三维问题中的应用前景。
本文还通过算例讨论了MT二维正演计算中地形的影响。在复杂地表的视电阻率定义上主要借鉴了徐世浙[55]的思想，并稍作改进。在讨论地形影响的成因时，提出了自己的看法。认为在TM模式下，当地表磁场被假定为定值时，起伏的地表上并不存在积累面电荷，地形的影响主要是电流畸变的作用； TE模式下，地形的影响主要来自于电磁波在空气和大地两种不同媒质中的不同衰减。在算例研究中，作者还发现，在斜坡型地形上，TM模式的垂直电场分量对视电阻率也有较大的影响，当采用矩形剖分时，无论网格多细，表征地表特征的单元边上，垂直电场为零。因此，矩形剖分的经典有限元在模拟斜坡型地形时，不仅不能精确模拟地形的物理边界，在理论上也有着不足。此外本文还研究了斜坡与山峰和山谷的一侧之间的差别，借以展示山峰山谷两侧之间的相互作用。
有限元直接迭代算法在线源频率域测深二维正演中的应用是本文最后讨论的一个问题。除了算法本身外，本文还有如下两个创新之处：第一、在有限元方程求解过程中，提出并实现了向内递推的组合网格技巧，在源点附近可以进行任意局部加密，从而较好地解决了源点附近的场的求解精度问题。第二、提出一种新的全区视电阻率定义方法，该方法用迭代法直接求解均匀半空间下线源场的解析表达式，从而在全区范围内都能求得表征地下电性结构的视电阻率。这一点对于线源具有很重要的意义，有可能实现小范围内的线源测深。在算例研究中分别由均匀半空间的理论计算和数值计算初步验证了该方法的正确性和有效性。此外还研究了层状介质模型和低阻异常体模型的二维正演响应。对于三层介质，绘制了线源附近的K,H,A,Q型曲线，并与MT曲线进行了对比。
本文的主要创新之处如下：
1．提出并验证了有限元直接迭代算法。
2．提出并验证了自动网格剖分算法。
3．利用有限元直接迭代算法实现了大地电磁测深(MT)响应的二维正演编程，提出一种新的求辅助场的方法，并采用自动网格剖分－交替方向线松弛法求解有限元方程组，此外，在MT二维地形对视电阻率影响的成因上也有新的认识。
4．利用有限元直接迭代算法实现了频率域线源响应的二维正演编程，提出一种新的全区视电阻率的定义方法，并采用组合网格离散求解区域，实现了在源点附近进行任意局部加密。
陈小斌硕士论文
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