七、发展中的技术

到了上世纪90年代，除了Moldflow和C-Mold以及上次提到过的几家公司外，还有日本的Timon和台湾的CoreTech(科盛科技)也进入了竞争者的行列。

竞争是技术变革和进展的催化剂。在从上世纪80年代开始到现在的竞争中，在注塑分析软件领域里，无论是数值计算技术的开发，还是数学模型的改进，都有太多可 以回顾的。下面只挑几个例子来说说。

(一) 2.5维、“双面流”和三维

(1)2.5维

前面提到，早年由于收到计算机内存的限制，实用的三维模流数值计算不可能实现。 初期的软件曾采用layflat方法模拟了复杂几何形状的三维薄壁制品的注塑过程。这 种方法后来被“2.5维中面流”(2.5D midplane)技术取而代之了。

这个2.5维中面流方法的理论基础是Hele-Shaw(或称广义的Hele-Shaw)方程。该理论 利用注塑模腔在厚度方向上狭窄的特征，忽略了压力在厚度方向上的梯度，从而把质量守恒和动量守恒方程简化成一个二维的压力方程。至于能量守恒方程，沿厚度 方向的热对流效应和流动平面内的热传导可以忽略，但仍然是三维的方程。这样， 模流分析归结为求解耦合的二维压力场和三维温度场的问题，同行圈子里简称之为“2.5维”问题。当然，这不是一个有严格数学意义的命名。2.5维问题中的压力方 程可以用有限元法求解，温度场可用沿厚度方向的有限差分法来求解。

(2)“双面流”

要到山的另一边去，又不想翻山越岭，怎么办？两种办法。一种是愚公的办法，挖 山不止，即使不能把山挖掉，至少也挖出个隧道，崎岖变通途。另一种是智叟的办法，绕开大山，另辟蹊径。

面对构建中面网格的困难，研究和开发者们既用了愚公的办法，也用了智叟的办法。愚公的办法就是致力于研究、开发和改进中面自动生成技术。这种努力至今还在进 行着。智叟的办法则是设法避免使用中面。一个成功的例子便是Moldflow的专利技术──1997年开发的“双面流”有限元模流分析技术(Dual Domain Finite Element Analysis)。它用的是三维实体的表面网格(因为借助于CAD，构建三维实体的表面网 格比构建中面网格容易得多)。薄壁结构表面上的单元可以分为“上表面单元”、“下表面单元”和“边沿单元”。上、下表面代替了中面用于有限元分析。在模拟 过程中，好像是上下两表面的塑料熔体同时并且协调地流动， 如图11所示。

图11：双面流模型

因为双面流分析所用的网格在总体外观上很接近三维实体的形状，所以有些人以为 双面流的模拟能够比中面流的模拟更好地预测三维流动的效应。这是一个误解。实 际上，双面流分析的理论基础也是Hele-Shaw方程，所依赖的假设和中面流分析方法 没有什么不同，本质上仍属于2.5维方法。双面流分析的预测精度最多能达到中面流 分析的水平，如果不是更差的话。双面流分析的好处，仅仅在于避开了使用中面网格的困难。它的研究和开发，主要是由工业界用户的需求推动的。这一技术不太可 能在纯学术研究的环境中产生。同样是为了满足用户需求，在推出双面流技术的翌年，Moldflow又将此技术扩展到收缩和翘曲分析。

(3)三维

到了90年代末，随着计算机的发展和进步，三维模流分析开始成为研究热点。三维模流分析与2.5维分析的主要区别有二：(1)使用三维立体网格；(2)不再使用Hele-Shaw近似。一些在2.5维分析中不能模拟的的充模过程中的流动效应，如横截面突然变化出的拉伸流动效应， 或熔体前沿的喷泉效应等，在三维分析中都有可能正确地模拟。

但三维分析的技术难点颇多。大多数模制品的厚度比其它两个方向的尺寸小的多，在厚度方向上的温度梯度很大，为了正确计算温度场，厚度方向上的单元就要加密。 这样一来，如果在流向上采用较为稀疏的网格，就必须使用大长宽比的扁长单元， 这种单元的离散误差较大，影响计算精度。如果采用长宽比接近1的单元，则总体单元数剧增，导致计算量巨大、计算时间太长。这是三维注塑流动模拟软件至今尚待改进的问题，有一些方法，例如algebraic multigrid (AMG) 方法，已经被用于这个目的。

除了有限元法，有限体积法对三维模流分析也是一个不坏的选择。有限体积法比较节省内存和CPU时间。使用有限体积法的较为成功的尝试以CoreTech的软件产品Moldex3D为代表。

以上是开发数值计算技术的例子，下面以纤维取向模型为例说说数学模型方面的发展。

(二)纤维取向的模拟

前面我们谈到材料的复杂性时说过，实际生产中大量使用纤维增强复合材料，更增添了材料的复杂性。最常用的纤维是圆柱状的玻璃纤维，它们和高分子材料熔体组成了纤维悬浮体系。纤维悬浮体系的流动会引起纤维取向，导致注塑制品弹性模量和热膨胀系数的各向异性，并因产生比较严重的不均匀收缩和翘曲。

刚刚拜读了博友曾泳春老师的一篇文章《轻舞飞扬──纤维与高速气流的亲密接触》(http://blog.sciencenet.cn/blog-531950-578855.html ）。曾老师研究的是柔软的棉纤维在气流中的运动，用“时而轻舞飞扬，时而妖娆纠结”来形容，真是唯妙唯肖。刚硬的短玻璃纤维在粘稠的高分子熔体中的运动，有旋转，却不飞扬，也纠结，稍逊妖娆。玻璃纤维运动取决于两项外力的作用，一是总体流动流场的作用，二是其它纤维运动的干扰。前者是确定性的规则运动，后者则很不规则，可类比布朗运动，用随机过程来描述。模拟短玻璃纤维的运动，最关心的结果是它们的取向。

大约和爱因斯坦同一时代，一位姓Langevin的科学家发表了一个随机过程的方程来描述布朗颗粒的运动。还有一个姓Planck的，发表了一个构象分布函数扩散方程，称为Fokker-Planck方程。如果我们用单位矢量来表达纤维的方向，称为取向矢量，通过对悬浮在流体中的纤维的受力分析，可以写出以取向矢量为变量的Langevin方程，再与取向分布函数扩散方程(即Fokker-Planck方程)结合，可推导出以“取向张量”为变量的方程。取向张量定义为取向矢量的并积按分布函数的统计平均值。由于奇数阶的统计平均值为零，所以只有偶数阶的取向张量才有意义，通常用到二阶张量和四阶张量。

上世纪80年代初，Tucker和他的学生用上述取向张量方程来模拟纤维的取向。这方程中有一个参数叫旋转扩散系数。他们假设旋转扩散系数正比于流体的应变速率张量的模量，并将比例常数定义为纤维相互作用系数。这个结果称为Folgar-Tucker模型，在注塑CAE软件中得到广泛应用。Folgar-Tucker模型以二阶取向张量为基本变量，但方程中也出现四阶取向张量。必须把四阶取向张量用二阶取向张量来近似表达，方程才能求解。这样的表达式被称为“封闭近似”（closure approximations）。

二阶取向张量可以很形象地用一个取向椭球来表示纤维在各个方向上取向的几率。在注塑制品上表达纤维取向分布的计算结果，通常把取向椭球投影到流动平面上， 成为椭圆，如图12。

图12：纤维取向分布。(a)中间层； (b)近壁层

含有纤维的复合材料是典型的非均匀材料。知道了模制品中纤维的取向分布以及玻璃纤维和高分子材料各自的性质，运用非均匀材料均匀化的理论，例如Mori-Tanaka模型，就可以计算出材料在整体上的有效物理性能。

Folgar-Tucker模型在注塑加工分析中的应用是比较成功的，但还不能完全满足解决实际问题需求。对纤维取向模型的改进一直是注塑领域里关注的问题，包括：

- 寻找更精确的封闭近似；

- 深入探讨纤维相互作用系数；

- 考虑纤维成簇流动时纤维间的局部流场变化对纤维取向的影响；

- 模拟纤维的迁移；

- 研究长纤维弯曲和断裂的模拟方法。

高科技公司之间的竞争促进技术的发展，这是积极的一面。但竞争毕竟不完全等同于竞赛，在某种意义上也是一场试图吞并对手的战争。想起一出电视剧歌曲里所唱的：“兴亡谁人定，盛衰岂无凭？”关于当年这场“战争”的结果，留待下次再谈。