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【请教专家】关于数学微分方程的问题
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氢原子定态薛定谔方程，从数学的角度来讲，是一个二阶微分方程，下面是Wiki百科“氢原子”的介绍：
；
其中，
是约化普朗克常数，
是电子与原子核的约化质量，
是量子态的波函数，
是能量，
是库仑位势：
；
其中，
是真空电容率，
是单位电荷量，
是电子离原子核的距离。
采用球坐标
，将拉普拉斯算子展开：
![-.frac{.hbar^2}{2.mu r^2}.left .{ .frac{.partial}{.partial r}.left(r^2 .frac{.partial}{.partial r}.right)+.frac{1}{.sin^2.theta}.left[.sin.theta.frac{.partial}{.partial .theta}.left(.sin.theta .frac{.partial}{.partial .theta}.right)+.frac{.partial^2}{.partial .phi^2}.right].right .}.psi - .frac{e^2}{4 .pi .epsilon_0 r}.psi= E.psi](http://upload.wikimedia.org/math/b/a/0/ba019ccfbe977b3041290fef2faf484b.png)
。
目前我们是通过试探的方法，给出了方程的解，并且猜想这薛定谔方程式的波函数解 
是径向函数 
与球谐函数
的乘积：
。
也就是说，目前用于分析理解氢原子结构的波函数，只是这个方程的一个特解。从数学的角度来看，我的问题是：
1、除目前的特解之外，还有没有其它解？
2、如果有，存不存在完全实函数的解？
我非常希望本网的数学家给予解答，先谢谢了！
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