桂耀荣

    已知：联二苯二氯代物有12种，则联n苯的一氯一溴代物_________________种，联n苯的二氯代物________________________种。

解析：（1）

n为偶数时，如上图1所示，如果氯在8位置上，溴能取代的位置有1、2、3、4、5、6、7共一氯一溴代物7种，若氯在1位置上，同样溴能溴能取代的位置有8、2、3、4、5、6、7共一氯一溴代物7种，若氯在2位置上，溴能溴能取代的位置有3、4、5、6、7共一氯一溴代物5种，所以得出联n苯（n≥2，偶数）一氯一溴代物共有(2n+3)×n + (2n+1) =2n² +5n + 1.

n为奇数时，如上图2所示，如果氯在10位置上，溴能取代的位置有1、2、3、4、5、6、7、8、9共一氯一溴代物9种，若氯在11位置上，同样溴能溴能取代的位置有10、1、2、3、4、5、6、7、8共一氯一溴代物9种，若氯在12位置上，同样溴能溴能取代的位置有11、1、2、3、4、5、6、7、8共一氯一溴代物9种，若氯在1位置上，溴能溴能取代的位置有2、3、4、5、6、7、8共一氯一溴代物7种，所以得出联n苯（n≥2，奇数）一氯一溴代物共有(2n+3)×n + (2n+1) =2n² +5n + 1.

（2）二氯代物数目只要在一氯一溴代物的基础上减去重复的数目即可得到答案。

(A) n为偶数时：

(a)如图1所示，若氯在1位置上，重复的位置有8、4、5共3种，若氯在2位置上，重复的位置有3、4、5、6共4种；

(b)如图3所示，若氯在12位置上，重复的位置有11、5、6共3种，若氯在13位置上，重复的位置有4、5、6、7共4种若氯在14位置上，重复的位置有13、3、4、5、6、7、8共7种，若氯在1位置上，重复的位置有2、3、4、5、6、7、8、9共8种

重复数目为3、4、7、8、11、12……,对此等差数列求和S_n= na₁+ ,所以重复数目为： +  + + = n² +1.5n

因此得出联n苯（n≥2，偶数）二氯代物共有2n² +5n + 1-（n² +1.5n）= n² +3.5n + 1（n≥2，偶数）

(B) n为奇数时：

（a）如图2所示，若氯在11位置上，重复的位置有4、5共2种，若氯在12位置上，重复的位置有3、4、5、6、11共5种，若氯在1位置上，重复的位置有2、3、4、5、6、7共6种；若为联5苯，则重复的数目为：2、5、6、9、10，所以联n苯重复数目为2、5、6、9、10……,对此等差数列求和S_n= na₁+  ,所以重复数目为：

2+ +  + + = n² +1.5n - 0.5，

因此得出联n苯（n≥3，奇数）二氯代物共有2n² +5n + 1-（n² +1.5n - 0.5）= n² +3.5n + 1.5（n≥3，奇数）

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高中化学奥赛题解（二）：联n苯二卤代物的数目

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