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我是一个“愚而好自用、贱而好自专”的人,对书本上的很多话都嗤之以鼻,认为是老生常谈,卑之无甚高论。然而对于“教学相长”这四个字,我却深以为然,因为这是我人生中一段刻骨铭心的记忆。
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在从事了多年的视频压缩硬件系统研发之后,07年我来到了韩国汉阳大学。彼时薪水尚可且无人约束,于是我决定追寻年少时的梦想:从事基础理论研究。虽然报考大学时出于就业考虑,选择了时髦的IT行业,但是内心对牛顿、爱因斯坦等大物理学家和欧拉、高斯等大数学家一直十分神往。乔布斯曾说过:“我愿用我一生的成就和财富,换取和苏格拉底共处一个下午的时光。”——余心有戚戚焉。
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说干就干,我选择了整个IT领域最硬核的信息论与编码作为研究方向。我对自己的认识十分清醒,就凭我半桶水的数学功底,是搞不定各种编码问题(例如Berger-Tung编码)的理论边界的。所幸多年的工程开发经历使得鄙人的算法编程技巧炉火纯青,如入无人之境。于是我决定从编码的实现方法入手。Urbanke针对LDPC码提出的密度进化理论令我拍案叫绝。我想,如果我能针对某种编码方法开发出一套类似于密度进化的理论体系,那该多好啊!
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因为视频压缩属于信源编码,我首先考虑了算术码。算术码是最重要的无损信源编码方法,其原理是将信源字符串映射至[0,1)区间上的一个数。我立马凭直觉想到一个问题:这个数在[0,1)区间上的分布如何?同样凭直觉,我认为应该是均匀分布,因此研究这个问题是没有意义的。那还有什么问题值得研究呢?
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瞌睡来枕头,不久我就发现了机遇。如果允许信源符号映射至重叠区间,算术码可以实现分布式无损信源编码。直觉告诉我:此时,字符串映射至[0,1)区间上的这个数将不服从均匀分布。我动手编程测试了一下,果然不服从均匀分布!于是我发现了一个重要问题:如何求解该分布函数f(u)(我称之为码谱)?我想了几天推出了以下函数方程:
——(1)
求解该函数方程即可得到码谱f(u)。很不幸,该函数方程的求解十分困难。我四处寻找该函数方程的求解方法,居然发现一个相关网页https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/fe/fe1111.pdf(不得不佩服斯拉夫民族的数学功底)。借助该网页,我得到了该函数方程在码率r=1/2下的特解。然而对于其他码率r,该函数方程依然无解。(参见拙作https://ieeexplore.ieee.org/document/5204158)
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事情至此就停滞不前了。09年我回国去了西农执教。12年开始承担《信号与系统》的教学工作。说实话,我当学生的时候对《信号与系统》这门课学得并不好,特别是对其中的傅里叶变换简直云里雾里。现在当老师了,可不敢以其昏昏使人昭昭,怕被学生轰下讲台。于是我认真备课,务求精通。在讲授了傅里叶变换及其性质之后,有一天我突然灵机一动:为何不尝试使用傅里叶变换来求解函数方程(1)呢?顺着这个思路我开始往下推导。首先将函数f(u)向左平移1/2得到
——(2)
从而使得g(u)是一个定义在区间[-1/2,1/2)上的偶对称函数且公式(1)变成了
——(3)
令G(v)表示g(u)的傅里叶变换,亦即
——(4)
根据傅里叶变换的时移性质和尺度变换性质,可得
——(5)
——(6)
对公式(3)左右两边同时做傅里叶变换,可得
——(7)
接下来利用欧拉公式可得
——(8)
上式可以无限迭代下去,直至得到
——(9)
因为f(u)是一个分布函数,其积分必然为1,因此
——(10)
最终我们得到了G(v)的显示解:
——(11)
对G(v)做傅里叶反变换即可得到g(u)的显式解。从08年直至12年,我花了4年光阴终于解出了函数方程(1)!(参见拙作https://ieeexplore.ieee.org/document/6451078)
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我进一步思考。当码率r=1时,分布式算术码回归为常规算术码。此时的g(u)是一个标准的门函数,其傅里叶变换为G(v)=sinc(v/2)。根据公式(11)可得
——(12)
亦即sinc函数可以展开为无穷多cos项连乘!惊喜之余,我立马想到这么简单的关系应该不是首次被发现。于是我在网上查找资料。果不其然,欧拉早已发现了这个关系https://arxiv.org/pdf/math/0506415(但是欧拉去世的时候傅里叶才15岁,还没有提出傅里叶变换,因此我利用傅里叶变换给出了该公式的一种新的简洁证明)。失落之余,我感到十分高兴:我的名字终于和伟大的欧拉建立了一丝丝联系!(参见拙作https://ieeexplore.ieee.org/document/6451078)
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上述工作不仅解决了我科研中长期悬而未决的问题,而且为我的《信号与系统》教学提供了绝好的素材。在后续的教学工作中,公式(1)的求解和公式(12)的证明一直都是《信号与系统》期末考试中雷打不动的必考题。它不仅给我带来了极大的心理满足,而且让我对“教学相长”这四个字有了刻骨铭心的全新体验!
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