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“教学相长”谱新篇

已有 829 次阅读 2024-11-1 11:02 |系统分类:教学心得

我是一个“愚而好自用、贱而好自专”的人，对书本上的很多话都嗤之以鼻，认为是老生常谈，卑之无甚高论。然而对于“教学相长”这四个字，我却深以为然，因为这是我人生中一段刻骨铭心的记忆。

在从事了多年的视频压缩硬件系统研发之后，07年我来到了韩国汉阳大学。彼时薪水尚可且无人约束，于是我决定追寻年少时的梦想：从事基础理论研究。虽然报考大学时出于就业考虑，选择了时髦的IT行业，但是内心对牛顿、爱因斯坦等大物理学家和欧拉、高斯等大数学家一直十分神往。乔布斯曾说过：“我愿用我一生的成就和财富，换取和苏格拉底共处一个下午的时光。”——余心有戚戚焉。

说干就干，我选择了整个IT领域最硬核的信息论与编码作为研究方向。我对自己的认识十分清醒，就凭我半桶水的数学功底，是搞不定各种编码问题（例如Berger-Tung编码）的理论边界的。所幸多年的工程开发经历使得鄙人的算法编程技巧炉火纯青，如入无人之境。于是我决定从编码的实现方法入手。Urbanke针对LDPC码提出的密度进化理论令我拍案叫绝。我想，如果我能针对某种编码方法开发出一套类似于密度进化的理论体系，那该多好啊！

因为视频压缩属于信源编码，我首先考虑了算术码。算术码是最重要的无损信源编码方法，其原理是将信源字符串映射至[0,1)区间上的一个数。我立马凭直觉想到一个问题：这个数在[0,1)区间上的分布如何？同样凭直觉，我认为应该是均匀分布，因此研究这个问题是没有意义的。那还有什么问题值得研究呢？

瞌睡来枕头，不久我就发现了机遇。如果允许信源符号映射至重叠区间，算术码可以实现分布式无损信源编码。直觉告诉我：此时，字符串映射至[0,1)区间上的这个数将不服从均匀分布。我动手编程测试了一下，果然不服从均匀分布！于是我发现了一个重要问题：如何求解该分布函数f(u)（我称之为码谱）？我想了几天推出了以下函数方程：

${2}^{1-r}f(u)=f(u{2}^{r})+f((u-(1-{2}^{-r})){2}^{r})$ ——(1)

求解该函数方程即可得到码谱f(u)。很不幸，该函数方程的求解十分困难。我四处寻找该函数方程的求解方法，居然发现一个相关网页https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/fe/fe1111.pdf（不得不佩服斯拉夫民族的数学功底）。借助该网页，我得到了该函数方程在码率r=1/2下的特解。然而对于其他码率r，该函数方程依然无解。（参见拙作https://ieeexplore.ieee.org/document/5204158）

事情至此就停滞不前了。09年我回国去了西农执教。12年开始承担《信号与系统》的教学工作。说实话，我当学生的时候对《信号与系统》这门课学得并不好，特别是对其中的傅里叶变换简直云里雾里。现在当老师了，可不敢以其昏昏使人昭昭，怕被学生轰下讲台。于是我认真备课，务求精通。在讲授了傅里叶变换及其性质之后，有一天我突然灵机一动：为何不尝试使用傅里叶变换来求解函数方程(1)呢？顺着这个思路我开始往下推导。首先将函数f(u)向左平移1/2得到

$g(u)=f(u+1/2)$ ——(2)

从而使得g(u)是一个定义在区间[-1/2,1/2)上的偶对称函数且公式(1)变成了

${2}^{1-r}g(u)=g((u+.frac {1-{2}^{-r}} {2}){2}^{r})+g((u-.frac {1-{2}^{-r}} {2}){2}^{r})$ ——(3)

令G(v)表示g(u)的傅里叶变换，亦即

$g(u).leftrightarrow G(v)$ ——(4)

根据傅里叶变换的时移性质和尺度变换性质，可得

$g((u+.frac {1-{2}^{-r}} {2}){2}^{r}).leftrightarrow {2}^{-r}G(v{2}^{-r}){e}^{iv(1-{2}^{-r})/2}$ ——(5)

$g((u-.frac {1-{2}^{-r}} {2}){2}^{r}).leftrightarrow {2}^{-r}G(v{2}^{-r}){e}^{-iv(1-{2}^{-r})/2}$ ——(6)

对公式(3)左右两边同时做傅里叶变换，可得

${2}^{1-r}G(v)={2}^{-r}G(v{2}^{-r}){e}^{iv(1-{2}^{-r})/2}+{2}^{-r}G(v{2}^{-r}){e}^{-iv(1-{2}^{-r})/2}$ ——(7)

接下来利用欧拉公式可得

$G(v)=G(v{2}^{-r}).cos {.frac {v(1-{2}^{-r})} {2}}$ ——(8)

上式可以无限迭代下去，直至得到

$G(v)=G(v{2}^{-.infty r}).cos {.frac {v(1-{2}^{-r})} {2}}.cos {.frac {v{2}^{-r}(1-{2}^{-r})} {2}}.cos {.frac {v{2}^{-2r}(1-{2}^{-r})} {2}}...$ ——(9)

因为f(u)是一个分布函数，其积分必然为1，因此

$G(v{2}^{-.infty r})=G(0)=.int ^{.infty }_{-.infty } {g(u)du}=1$ ——(10)

最终我们得到了G(v)的显示解：

$G(v)=.cos {.frac {v(1-{2}^{-r})} {2}}.cos {.frac {v{2}^{-r}(1-{2}^{-r})} {2}}.cos {.frac {v{2}^{-2r}(1-{2}^{-r})} {2}}...$ ——(11)

对G(v)做傅里叶反变换即可得到g(u)的显式解。从08年直至12年，我花了4年光阴终于解出了函数方程(1)！(参见拙作https://ieeexplore.ieee.org/document/6451078)

我进一步思考。当码率r=1时，分布式算术码回归为常规算术码。此时的g(u)是一个标准的门函数，其傅里叶变换为G(v)=sinc(v/2)。根据公式(11)可得

$.frac {.sin {v}} {v}=.cos {v{2}^{-1}}.cos {v{2}^{-2}}.cos {v{2}^{-3}}...$ ——(12)

亦即sinc函数可以展开为无穷多cos项连乘！惊喜之余，我立马想到这么简单的关系应该不是首次被发现。于是我在网上查找资料。果不其然，欧拉早已发现了这个关系https://arxiv.org/pdf/math/0506415（但是欧拉去世的时候傅里叶才15岁，还没有提出傅里叶变换，因此我利用傅里叶变换给出了该公式的一种新的简洁证明）。失落之余，我感到十分高兴：我的名字终于和伟大的欧拉建立了一丝丝联系！(参见拙作https://ieeexplore.ieee.org/document/6451078)

上述工作不仅解决了我科研中长期悬而未决的问题，而且为我的《信号与系统》教学提供了绝好的素材。在后续的教学工作中，公式(1)的求解和公式(12)的证明一直都是《信号与系统》期末考试中雷打不动的必考题。它不仅给我带来了极大的心理满足，而且让我对“教学相长”这四个字有了刻骨铭心的全新体验！

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