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“势能属于系统”对于外势能不成立

刘明成

                         （河北师范大学物理学院，河北 石家庄  050016）

摘要：分析了计算势能的两种方法——内场和外场的适用范围、区别和联系，并以自由落体和弹簧振子为例说明了这个问题，“势能属于系统”这句话不适用于外势能，建议从力学教材中删除或者指明其适用范围.文章指出了约束力、浮力、静摩擦力等稳定场是保守力，阐述了经典势能公式的适用范围，纠正了现行力学教材对于功能原理和机械能守恒定律成立的条件错误表述，功能原理正确表述为——非保守力的功等于系统机械能的改变量，系统机械能守恒的条件是系统没有非保守力，从理论上得出了机械能守恒定律是普遍物理规律，无条件服从力学相对性原理.对于弹性碰撞而言，牛顿碰撞定律等价于机械能守恒定律的协变性. 我们默认地面系是惯性系的同时，不再考虑其各个物理量的变化，地球不再是研究对象了，我们对于惯性系的认识更加深刻了.

关键词：内势能；外势能；势能属于系统；功能原理；惯性力；保守力；机械能守恒定律；协变性

中图分类号：O 313.1   文献标识码：A

1.势能属于系统的局限性

现在大中学力学教材都明确写着势能是状态量，又称作位能，可以释放或者转化为其他形式的能量.势能属于系统，是存储于一个物体系统内的能量，不是物体单独具有的，而是相互作用的物体所共有的，系统选择的原则是：系统必须由保守力源和在该保守力源施与的保守力作用下做功的质点组成，例如重力势能是物体与地球所组成的“系统”共有的，没有地球就谈不上重力，也谈不上重力势能，文献[1]进一步分析了这个问题，这种计算势能的方法一般称为内势能，此时势能是相对位置的函数，一对保守力的功等于重力势能的改变量.由于一对作用力和反作用力的功与坐标系的选择无关^[2～^13]，因此重力势能的改变量与坐标系的选择无关，人们开始怀疑引入外势能概念的必要性^[14～^20]，结果不但使功能原理和机械能守恒定律出现了不同的表述，还涉及到经典力学系统的内在协调性问题.科学的最基本态度之一就是疑问，科学的最基本精神之一就是批判.

可是利用内势能计算重力势能有先天的局限性，把地球和物体看做相互作用的系统，由于质点对于地球的作用力改变了地球的运动状态，因此地球不再是惯性系^[21～^26]，与现在大部分力学教材中认为经典力学中普通实验地面系是惯性系矛盾，研究重力势能需要引入惯性力和惯性力势能，才能确保地面系测量自由落体质点的机械能守恒.

例1 设小球（视为质点）的质量为                                               ,从距地面高度为处自由下落，落地时速度大小为.我们知道自由落体过程是势能转变为动能的过程，当小球落地时，其动能的增量等于系统势能的减少，即，在地面参照系∑上来描述，即

现在，让我们在另一参照系上来讨论上述过程.如图1示，系以速度u相对于地面竖直向上作匀速直线运动，并且.

显然，在系看来：小球的初速度为，小球落地时刻的速度,小球的动能增量,而系统的势能减少，仍等于，有.即是：小球的动能增量不等于系统的重力势能的减少.其问题的根本原因在于地面系按照惯性系计算，此时是外势能；此时也是惯性系，势能的减少不再是.

如果按照内势能计算，地面系和都不是惯性系了，需要计算惯性力的功，在地面系地球受到的惯性力的功为0，质点受到惯性力的功不等于0，但是惯性力是保守力，同时改变质点的动能和势能，因此质点的机械能依然守恒.在看来，地球和质点受到惯性力做功，但是同时改变其动能和势能，不改变其机械能，但是改变其势能，系统的势能减少不是，这样才出现上面的佯谬.

如果以地球和质点组成系统的质心为惯性系研究，由于地球的质量确切值我们不知道，而且有陨石、宇宙射线等因素的存在，地球的质量是一个变量，系统的质心我们根本不知道在哪里，不具有可操作性，只具有纸面的意义.在地球上狂风、暴雨、地震、海啸等因素比自由下落的质点对于地球运动的影响大得多.目前的实验根本测量不到质点对于地球运动的影响，不要说实验室里一个自由下落的质点，就是一艘航空母舰的运动对于地球运动的影响也无法测量得到，除非质点的质量和月球的质量同一个数量级或者更大.我们把地球作为惯性系的同时，已经默认其质量为无穷大，不再考虑其能量、动量、角动量等物理量的变化，地球不再是研究对象了.爱因斯坦曾经讲过：“我们离开有一种合理并符合事实的关于光和实物的理论还远得很！我觉得，只有大胆的思辨而不是经验的堆积，才能使我们进步.为了科学，就必须反反复复地批判这些基本概念，以免我们会不自觉地受它们支配.”

2.外势能（质点的势能）与内势能的关系

对于自由落体这样简单的力学实验，我们一般把地面系当做惯性系，此时默认地球质量视为充分大，忽略实验对于地球运动的影响，不必考虑地球能量的变化，这种计算质点势能的方法称为外势能(质点的势能)，其实任何力学教材最初引入势能的方法都是按照外势能引入的，文献[27～39]都提出了外势能的问题.

所谓内力、外力都是以由保守力源和质点组成的系统为界限的，系统以外的物体作用到组成系统的质点上的力叫做外力，系统以内的物体作用到组成系统的质点上的力叫做内力，内势能和外势能也应该这样分.内势能就是把力源和质点同等对待，也需要研究力源的能量；外势能就是计算势能时忽略力源的能量，只研究质点的势能.在由保守力源和在该保守力的作用下做功的质点组成的系统中，该质点在该保守力的作用下做功的能力叫做该质点在该系统中的势能.所以，势能属于由保守力源和在该保守力的作用下做功的质点组成的系统中质点.

外势能和内势能的关系如下：

当相互作用的两个物体质量相差极大时，要么按照内势能研究，要么按照外势能研究，前后必须自洽.按照内势能研究时，必须以系统的质心或者相对于质心匀速运动的物体为惯性参照系，例如在自由落体运动研究中，以地面系为参照系为外势能，此时实际上把地球质量视为充分大；以相对于地面匀速运动的电梯考察时也应该按照外势能计算，不能认为此时地球受到惯性力，在惯性系里测量不到惯性力，否则会得出机械能守恒定律不满足伽利略变换的错误结论^[25].

“势能属于系统”理论上没有错误，尤其是内势能问题，但是当相互作用的两个物体质量相差极大——例如力学实验室中研究自由落体问题，经过计算可知质点的运动对于地球能量的变化微乎其微，系统相对误差在10^-25至10^-26范围内^[40]，不仅远远小于空气阻力的影响，也小于重力加速度变化产生的误差，甚至小于狭义相对论效应，完全可以忽略，我们在地面系计算重力势能时忽略了地球能量的变化，在电梯系也必须忽略-----量变引起了质变.物理学没有绝对0与无穷的客观事实，物理学方程只能是客观物质世界近似描述的必然原因.

准确地说自由落体是一个两体问题，即小球和地球所构成的质点组问题.在质心系中，按动量守恒有                                               （1）

其中：分别为小球和地球质量()；分别为小球落地时刻小球和地球在质心系中的速度.所以，小球落地时刻地球的动能为          （2）

把式(1)代入式(2)得

                                                     （3）

而初始时刻小球与地球的动能均为零.所以，即是地球的动能增量与小球的动能增量相比较，是可以忽略不计的，小球的动能增量可以近似地等于系统动能增量，故系统势能的减少近似等于小球的动能增量.

非质心（非惯性系）中的情况，按动量守恒有       （4）

其中：分别是小球和地球在系中的初始速度；分别是

小球落地时，小球和地球在系中的速度，显然      （5）

把（5）代入（4）得

    （6）

地球的动能增量

          （7）   

这就是在系中的地球动能改变量，与小球的动能增量3mgh是同数量级的，不能被忽略，所以系统的总动能改变为，满足能量守恒.由此可见，在质心系中可以被忽略的大物体的动能改变，在非质心系中一般是不能略的.

外势能并没有否定内势能，只是某些情况下内势能不具有可操作性，利用外势能计算简便，可操作性强，这只是一种数学计算技巧而已.“重力势能属于地球和物体”理论上没有错误，但是没有实际意义.现行力学教材中说：“重力势能属于物体是一种通俗的说法”表述错误，应该是一种精确度极高的表述.此时地面系和相对于地面匀速运动的坐标系都按照惯性系对待，地球质量视为充分大，外势能只研究质点就可以，例如研究自由落体运动，在电梯系不用管地球.实验中按照内势能计算还是按照外势能计算根据研究问题的需要，例如日地系统、人造地球卫星围绕地球运动必须按照外势能计算，地月系统、木星围绕太阳运动可以按照内势能计算.

下面以弹簧振子为例验证一下利用内势能计算的机械能守恒定律满足伽利略变换，在静止系外势能是内势能的极限情况，——

例2

假设弹簧振子固定在地面上，如果把地球考虑进来，静止惯性参考系就只能选择地球之外的更高级别的惯性系，比如地球和小球系统的质心为惯性参照系，总之质心参照系是理想的，速度和加速度都是0，就讨论振子机械能的目的而言，其它天体的作用和地球的自转都要忽略掉(或者相互抵消)，地球也被当成一个均匀球形刚体，或者更进一步简化为质点，地球和小球之间只有弹力作用，如图1所示，记小球和地球的质量分别为，各自相对质心参考系的速度分别为，小球的弹性势能为，则有

                          (8)

式中为系统能量常量.假定有一个以相对于质心恒定速度运动的参考系，在这个动参考系中观察到的小球和地球速度分别为，相应的机械能为(小球的弹性势能仍然不变)                        (9)

将代入有

整理可得  (10)

    式(10)等号左端第一个圆括号内为静止系中看到的系统机械能，第二个圆括号内也是常量.第三个圆括号内为静止系中观察到的系统动量.前面已经声明，其他外力忽略不计，所以动量也不随时间变化.综上，在相对于质心参考系作匀速动参考系中观察到的机械能也守恒，验证了利用内势能计算的机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性.

当趋向于无穷大时，此时地球和系统的质心重合，，把它们代入式(9)有                                                  (11)

为了便于对式(11)讨论，我们应该把它换成为，和的表达式.此时可解出                 (12)

代入式(8)可得                        (13)

再代入式(11)有                         (14)

当把地球质量视为无穷大时，式(14)退化为，机械能显然守恒，所以外势能是内势能的极限情况.物理学中没有真正的无穷大，只有相对的无穷大，例如本题，当然本题也可以利用约化质量解决.

从上面的计算过程可以看出，我们把地面系作为惯性系的同时默认了地球质量为无穷大，是近似计算的需要，此时需要忽略实验因素对于地球能量、动量等物理量的影响，地球质量为有限值和地面系为惯性系二者不能相容.计算过程体现了微分学的基本思想——在近似中求得以精确，在量变中求得以质变.

其实现在国内外所有的力学教材最初都是以外势能引入的，只不过后来增加了一个势能属于系统、势能是相对位置的函数、一对保守力的功等于势能的减少量等内势能的属性，这样人们就误认为外势能也具有这些属性.在文献[41～42]中作者在地面系按照外势能计算，在电梯系（或者小车系）按照内势能计算，前后不自洽，导致了机械能守恒定律不满足力学相对性原理的错误.由于外力做功不具有伽利略变换的不变性，因此外势能不具有伽利略变换的不变性，这也是量变引起质变的结果，在经典力学中由于没有明确指出这个问题.由于“势能属于系统”仅仅适用于内势能，笔者建议把“势能属于系统”在教材中删除，或者说明仅仅适用于内势能.伽利略说过：“真理不在蒙满灰尘的权威著作中，而是在宇宙、自然界这部伟大的无字书中.”

3.纠正对于功能原理的误解

由于文献[43]没有正确理解外势能，利用外场计算势能用内势能定义，外势能不用考虑力源.关于内势能的机械能守恒定律满足力学相对性原理力学界是取得共识的^[19～20]，关于外势能的机械能守恒定律也满足力学相对性原理^[29]，能量守恒定律是一个普遍规律，具有单独的协变性——对于同一个系统在一个惯性系里机械能守恒，在另一个惯性系里机械能一定守恒，文献[11]、[41～51]的观点是完全错误的.

其实现在力学教材都是从单质点的势能——外势能定义的，在推导重力、万有引力、弹力是保守力时也是按照一个质点受到的力推导，没有考虑两个质点，在自由落体运动、单摆、斜面、引力场、弹簧振子等问题推导机械能守恒都是利用外势能计算.各参考系中的物理量只当对本参考系中的可观察量定义时才有意义.

现行的很多力学教科书的功能原理，W_外力+W_{非保守内力}=(E_k+E_p)-(E_k0+E_p0)          (15)

由于式(15)没有引入外势能，将机械能守恒定律成立的条件W_非保守力≡0（系统不受任何非保守力的作用），搞错为W_外力+W_{非保守内力}≡0（外力和非保守内力都不做功）．正确的功能原理应为W_非保守力=(E_k+E_p)-(E_k0+E_p0)  （非保守力的功等于机械能的改变量）       (16)

式（15）和式（16）的区别只在于引入外势能，即把所有保守力的功都移到等号右边，等号左边只剩下非保守力的功^[39].式（16）给出的机械能守恒定律成立的条件为W_非保守力≡0.因此建议把式（15）从力学教科书中删除，用式（16）代替它的位置（值得一提的是漆安慎的力学从2005年以后的版本就已经这样做了），并改称式（16）为机械能定理，因式（16）确实是定理而非原理.

对于稳定场F=F(r)而言，假设U(r)=F(r),∮F(r)dr=U(a)－U(a)=0，因此所有的稳定场都是保守力场，对于非稳定场环路积分一定不等于0，可以把保守力的定义简化为：只与空间位置有关的力.

注意非保守力为显含时间的力^{[52 ]}（包括耗散力），从对称性角度看，保守力具有时间反演的不变性，非保守力不具有时间反演的不变性，能量守恒定律的普遍性在于它与时间的均匀性相关联.速度是相对的，所以动能也是相对的.机械能也是相对的，两坐标系“守恒量”不相等，当静止系和运动系选择的势能零点相同，坐标原点重合的情况下，对于同一个物理过程运动系测量的机械能比静止系测量增加mu² - mu.v₀，其中v₀为t=0时静止系测量的质点初速度（因为在原点处势能相等，动能之差等于mu² -mu.v₀，在静止系和运动系测量的机械能都守恒，所以机械能之差始终为mu² - mu.v₀），文献[31～35]和[38]得出E'=E+mu²，原因在于v₀=0.其他情况不再分析.^[35]

4.重新理解机械能守恒的条件

机械能守恒定律是指在一个系统中，机械能的总和（动能与势能的总和）在任何过程中都保持不变.力学相对性原理是指在任何惯性参考系中，力学规律都是相同的.根据这两个定义，可以得出机械能守恒定律满足力学相对性原理的结论.这是因为机械能守恒定律是基于牛顿运动定律和能量守恒原理得出的，而这些原理在任何惯性参考系中都是成立的.无论参考系如何选择，系统中的动能和势能的变化都将遵循相同的规律，从而保证机械能的守恒.

例如，在一个相对运动的参考系中，尽管物体的速度和位置可能看起来不同，但它们的动能和势能的变化仍然满足机械能守恒定律，与静止参考系中的情况一致，因此机械能守恒定律满足力学相对性原理.这意味着无论我们选择哪个惯性参考系来观察一个机械系统，只要满足机械能守恒的条件，该系统的机械能都将保持守恒.

机械能守恒定律在力学定律中地位很高，定律本质上是动能定理的等价形式，不需要严格限制条件，机械能守恒定律的具体形式和参考系无关关，无条件遵从相对性原理.文献[33]证明了在自由落体运动中机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[53]证明了在斜面问题中机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[35]证明了在单摆问题中机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[31]和[34]说明弹性势能机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[32]论证了在引力机械能守恒定律满足伽利略变换.机械能守恒定律成立的条件其实非常简单——只有保守力做功^[54]（笔者注：或者说不存在显含时间的力），这一点其实早已经取得了共识的，后来由于出现了这一场跨世纪的争论，才导致了多种描述，对于这个内容可以参考文献[55～57]，大部分国内外理论力学教材给出的机械能守恒定律成立的条件都是这样.不用区分内力和外力，这是质点动力学问题.

机械能守恒定律：如果所研究的系统只有保守力，那么系统的机械能守恒（不变）.下面给出证明：

牛顿第二定律F+f=ma                                                （17）

其中m为质点质量，f为质点受到的保守力；F为非保守力.

     将（17）式两边点乘dr，边得到质点运动动能定理：

        Fdr+ fdr=d(mv²)                                               (18)

合力对质点所做之功等于质点动能的增量.引入势能定义：保守力的功等于质点势能增量的相反数，fdr= —dE_p                                                  （19）

(18)式化为质点机械能定理：Fdr = d（E_k+E_p）                           （20）

   非保守力的功等于质点机械能的增量.（20）式给出了质点机械能守恒的条件.当质点不受非保守力作用时（F=0），我们便得到质点机械能守恒定律， d（E_k+E_p）=0        （21）

 （20）式为质点微分形式的机械能守恒定律，将其积分便得到积分形式机械能守恒定律，

E_p(t)+E_k(t)= E_p(0)+E_k(0)= E                                      （22）

机械能守恒条件——研究系统里只有保守力（或者说没有显含时间的力），机械能守恒定律满足力学相对性原理，牛顿运动定律满足伽利略变换是机械能守恒定律满足伽利略变换的充分条件，机械能守恒定律无条件服从力学相对性原理；对于同一个物理过程，只要在一个参照系机械能守恒（拉格朗日函数和哈密顿函数不显含时间），在其他任何参照系一定守恒（拉格朗日函数和哈密顿函数不显含时间），机械能守恒的充要条件是系统只有稳定场（保守力）.

济南市2018年中考物理试题中的第10小题------

如图3所示，小强乘坐自动扶梯匀速上升的过程中，他的（）

A． 动能不变，重力势能增加，机械能增大；B. 动能减小，重力势能增加，机械能不变；

C.动能增大，重力势能减小，机械能不变；D.动能不变，重力势能减小，机械能减小.

图3

原题的答案是A，速度不变，动能不变，重力势能增大，机械能增加.

本题的答案显然错误，正确的答案为：动能不变，重力势能增加，支持力势能减小，机械能不变，支持力也是一个保守力.（在这个问题中如果以电梯为参照系，机械能显然守恒，在地面系机械能也守恒才满足力学相对性原理.）

现在各个版本的力学教材对于机械能守恒定律的条件叙述不尽相同，例如程守洙、江之永主编的《普通物理学》（第五版）对于系统机械能守恒定律描述为：“如果一个系统内只有保守力做功，其他一切内力和外力不做功，或者它们的总功为0，则系统内各物体的动能和势能可以相互转化，但机械能的总值不变.”漆安慎、杜婵英主编的《普通物理学教程.力学》的描述为：“在一过程中若外非保守力不做功，又每一对内非保守力不做功，则质点系的机械能守恒”和周衍柏的《理论力学》（第二版）的描述为：“如果作用在质点组上的所有外力及内力都是保守力（或其中只有保守力做功）时，才有：T+V=E，即机械能守恒.”赵凯华、罗蔚茵主编的《新概念力学》描述为：“一个保守系总机械能的增加等于（未计入外场部分的）外力对它所做的功；如果从某个参考系看来，这部分做功为0，则该系统的机械能不变.”仅当不存在非保守力或非保守力所作之功可以忽略时，系统的动能（包括转动动能）与势能之和为常数，即当时.文献[32]指明了包含外势能的机械能守恒定律成立的条件为只有保守力做功是正确的.除此以外经典力学对于弹性势能定义的表述不严格、没有认识到约束力是保守力以及认为保守力可以变换为显含时间的力错误认识才导致关于机械能守恒定律与力学相对性原理讨论持续没有定论.^{[35] [58～59]} 相对性原理和单独的协变性是一回事，无需进行区别，不需要引入联合协变的概念，爱因斯坦和朗道对于相对性原理的表述是正确的，纠正了部分文献的错误；牛顿运动定律的所有推论（例如声波运动方程、欧拉方程等）都具有伽利略变换的不变性.^{[43～51][60～61]}

根据上面给出的机械能守恒的条件，文献[73]给出的两个实例，机械能显然守恒，无需利用该文中复杂的判断.

由于静电力也是保守力，笔者建议把质点受到静电力具有的电势能作为机械能的一部分，电磁学中按照接触作用（场）的能量不再按照机械能处理，国外的教材一直这样编排，否则下面的实例难以理解：由质量为M、带正电为Q的质点兼点电荷A和质量为m、带正电为q的质点兼试验电荷a组成的质点A质点a系统中，增大Q，使A对a的电推力大于A对a的引力，因此a加速远离A.此时突然减少Q，使A对a的电推力等于A对a的引力，因此a匀速远离A.此时对于质点A质点a系统，A对a的电推力是外力兼保守力.

在只有保守力的情况下，不管是单质点还是质点组，任何一个质点动能的变化量和势能的变化量一定互为相反数.能量守恒定律一定具有单独的协变性，在力学中机械能守恒定律一定具有单独的协变性.因为牛顿运动定律具有单独的协变性，它的所有推论都应当具有单独的协变性.否定了这一点，就等于推翻了牛顿力学和朗道、爱因斯坦对于相对性原理的表述，这就像在欧几里得几何学中可以推出三角形内角和不等于180度一样.

如果把单个质点扩展到质点系统，只要系统与外界没有能量交换，系统内部的力学规律和数学形式是不会改变的，所以伽利略相对论原理的基础是能量守恒律.伽利略变换之所以可以确保力学规律的不变性，很重要的一点是数学的坐标系变换不产生真实的力的作用或能量交换.

两个质点发生弹性碰撞，根据牛顿的碰撞定律，碰撞后两个质点的分离速度等于碰撞前的接近速度，这个结论验证了机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性.因为以其中一个质点为参照系，碰撞前另一个质点的速度就是接近速度，碰撞后的速度就是分离速度，根据碰撞定律速度显然相等，动能也相等，所以在以质点为参照系看来能量守恒定律也成立.反之，如果承认机械能守恒定律满足伽利略变换的不变性，就可以直接得出——发生弹性碰撞的两个质点分离速度等于碰撞前接近速度，牛顿碰撞定律是机械能守恒定律满足相对性原理的一个例证.对于弹性碰撞而言，牛顿碰撞定律等价于机械能守恒定律的协变性.

根据机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性，可以直接得出碰撞定律，无需单独证明.

牛顿碰撞定律适用于两个相互作用的质点没有相互作用力，否则它们之间存在势能的变化，结论不成立.

5.经典势能公式的适用范围

根据势能定理势能dE_p=（-f）dr，而保守力的元功是坐标函数的全微分、可积分的，积分值为末态始态之差与积分路径无关，因此外势能也具有相对性.在经典力学教材中我们一般都是根据势能定理dE_p=（-f）dr推导势能公式的，因此势能定理dE_p=（-f）dr比势能公式更基本，对于外势能而言E_p= -，势能零点必须选在无穷远点，其他情况不成立，仅仅适用于观察者在保守力方向上的分速度始终为0时的情形，当观察者在力的方向上分速度不相等时，计算保守力做的功不相等，因此势能差也应该不相等，这说明势能一样具有相对性. E_p=kx²也不是弹性势能的一般公式^[62].现在不少的力学教材没有指明这一点，认为势能差是绝对的，与观察者无关^[63].

文献[64]的错误在于没有区分内势能与外势能，认为外势能也是属于系统，没有认识到外势能不具有伽利略变换的不变性.经典的势能公式对于内势能成立——内势能具有伽利略变换的不变性.不少人认为经典的势能公式适用于所有的惯性系，在功能原理中排斥外势能的存在，认为都是内势能，但此时需要牺牲一些经典的结论，例如研究自由落体运动地面系就不是惯性系了，机械能也不守恒，而且不具有可操作性，譬如我们根本不知道地球的具体质量等，其他实例也存在这个问题.文献[43～46]以及[65～72]是完全错误的.

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"The potential energy belongs to the system" does not hold true for external potential energy

Liu Ming-cheng

(College of Physics‚Hebei Normal University‚Shijiazhuang 050016‚China)

Abstract: This paper analyzes the applicable scope, differences, and connections of two methods for calculating potential energy - the internal field and the external field. It illustrates this issue with examples of free fall and spring oscillators. The statement "potential energy belongs to the system" does not apply to external potential energy, and it is suggested to remove it from mechanics textbooks or specify its applicable scope. The article points out that binding forces, buoyancy, static friction, and other stable fields are conservative forces, elaborates on the applicable scope of the classical potential energy formula, corrects the incorrect expressions in current mechanics textbooks regarding the conditions for the validity of the principle of work and energy and the law of conservation of mechanical energy. The correct expression of the principle of work and energy is that the work of non-conservative forces equals the change in the mechanical energy of the system, and the condition for the conservation of the mechanical energy of the system is the absence of non-conservative forces. The conservation law of mechanical energy is theoretically derived as a universal physical law that unconditionally obeys the principle of relativity in mechanics. For elastic collisions, the Newton's collision law is equivalent to the covariance of the law of conservation of mechanical energy. While we default that the ground system is an inertial system and no longer consider the changes in its various physical quantities, the earth is no longer the object of study, and our understanding of the inertial system becomes deeper.

Key words: internal potential energy; external potential energy; potential energy belongs to the system; principle of work and energy; inertial force; conservative force; law of conservation of mechanical energy; covariance