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纠正几个对于保守力的错误认识                                

刘明成

                （河北师范大学物理学院，河北 石家庄  050016）

摘要：首先给出了显含时间的力场（不稳定场）的定义，接着证明了惯性力都是保守力，惯性力与引力等效，验证了爱因斯坦的等效原理；然后证明了稳定场都是保守力场，简化了保守力的定义；最后证明了力的保守性具有伽利略变换的不变性，纠正了部分文献的错误.

关键词：惯性力；引力；等效原理；保守力；稳定场；显含时间的力场

中图分类号：O 313.1   文献标识码：A

1.显含时间力场定义

定义：对于力F=F（r，t），如果时间t不能通过恒等变换消去，只能表示为位置和时间的二元函数，或者说力F对于时间的偏导数不恒等于0，那么力F就是一个显含时间的力场或者说是一个不稳定场.

一个物体在黏性流体中运动，受到的阻力可能与物体的速度以及时间有关，像F=-bv(t)（b为阻力系数）就是显含时间的力，因为速度可能是时间的函数.这种力场是不稳定场，因为力的大小和方向可能会随着时间不断变化，系统的能量也可能不守恒，因此耗散力是显含时间的力.一个交变电场就是显含时间的力场，在这种力场中物体受到的力的大小和方向会随着时间发生周期性变化.显含时间的力场是不稳定场，因为场的性质（如力的大小和方向）随时间变化，这会导致物体在这种场中运动时，力对物体做功的情况不仅与位置有关，还与时间有关，所以这种场中的力不是保守力.

不要认为在力的解析式中有时间变量就认为一定是显含时间的力场，必须分析一下能否消去变量t，表示为位置的一元函数，例如当把弹簧振子固定在地面上时，在地面系观察弹力F=-kx=-                                               kx-kAsin(ωt+φ），但不是显含时间的力场，否则地面系机械能也不守恒.只要力不是显含时间的力，场也不是显含时间的力场. 从分析力学角度来看，只要所研究系统的拉格朗日函数和哈密顿函数不显含时间，系统的机械能一定守恒，与矢量力学的结论完全一致，因为根据dEp=（-f）dr可知只有力场显含时间，势能才能显含时间，从而机械能显含时间.力场显含时间是指场的坐标含有时间参量t，r是指质点的坐标，含有时间参量t是必然的，通过坐标变换可以完全消去，不叫做显含时间.

2.惯性力都是保守力

文献[1]利用引力场与惯性力场的等效性证明了惯性力都是有势力、主动力.文献[2]分析了惯性力的性质，证明了惯性力是保守力，根据爱因斯坦的观点：惯性力等价于引力场，因此也是保守力.或者假设爱因斯坦的广义相对性原理成立，那么能量守恒定律在所有参照系成立，只要一个物理过程在惯性系能量守恒，在非惯性系也一定守恒，也可以证明惯性力是保守力.文献[3]说明对于惯性力是否是保守力，需要单独证明，下面给出一个数学证明，证明惯性力（牵连惯性力和科里奥利力）不是显含时间的力.

证明：假设质点在惯性系的加速度为a₁，惯性加速度为a₂，此时对于质点dv/dt= a₁+ a₂=a(t)，所以质点的速度是时间t的函数v=f(t)，ds/dt=f(t)，位移也是时间t的函数s=φ(t)，是关于时间t的连续函数，质点在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此s=φ(t)也是可导函数， 如果该函数出现常值函数区间，质点静止，受到的力是0，不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单调区间，根据反函数的定义在该区间上存在反函数t=φ^-1(s)，这样a=a(φ^-1(s))，惯性力F=ma(φ^-1(s))与时间t无关，不是显含时间的力，也不是耗散力，是一个保守力.只有力的大小是位移和时间的二元函数，并且时间t不能被消元的话，才是显含时间的力.文献[4]列举的实例也可以消去时间t，不是显含时间的力.

文献[5]证明了惯性离心力也是一个保守力，给出了离心力势能公式=I=mθr²，文献[6]证明了在匀速转动参照系中某位置的离心力势能的表达式为=-mω²r²，r=0时为势能零点.文献[7～10]证明了直线匀加速度参考坐标系和匀角速度定轴转动参考坐标系，其惯性力为保守力，对于直线非匀加速度参考坐标系和非匀角速度定轴转动参考坐标系，其惯性力显含时间为非保守力是错误的，此时是隐含时间的力，通过变换可以消去时间t，此时惯性力也是保守力.文献[11]认为除了牵连惯性力是非保守力，其他惯性力是保守力，也是同样的错误.文献[12]证明了非匀角速度定轴转动参考坐标系机械能守恒定律也成立，即此时惯性力也是保守力.其实对于直线非匀加速度参考坐标系惯性力也是一个保守力，例如假设在一部变加速上升（加速度a=a(t)）的电梯内观察一个自由降落的质点，质点受到重力和一个惯性力，惯性力的大小是时间t的函数，如果惯性力是显含时间的力——非保守力，会观测到质点的机械能不守恒，能量来自哪里呢？文献[13～14]的错误类似，不再分析.文献[15]利用惯性力势能解决了一个问题.

文献[16]认为机械能的哈密顿量是位置坐标的函数，在进行该位置坐标上的坐标变换时总会携带时间，导致其哈密顿量对时间的偏导数不为0，是完全错误的，通过上面的分析可以看出时间t完全可以消去，其哈密顿量对时间的偏导数始终为0.

文献[17]认为：“一个真实力在某参考系是保守力，在其他参考系中可能仍是保守力，也可能是非保守力.地面系中重力是保守力，在地面附近相对于地面系平动的惯性系和非惯性系中重力仍是保守力，但是在绕着水平固定轴旋转的非惯性系中却是非保守力.在参考系S₁中，一端固定的弹簧对另一端物体的弹性力是保守力，在相对S₁系运动的参考系S₂中，此弹性力为非保守力.”是完全错误的，主要是没有消去坐标变换后的时间t.由于万有引力（惯性力）不可能显含时间，是一种稳定场，因此引力不存在引力磁场，有人类比电磁力存在电场和磁场，得出引力存在引力磁场的观点是完全错误的. 普朗克曾说,“在科学史中,一个新概念从来都不会是一开头就以其完整的最后形式出现.”

爱因斯坦提出“等效原理”，即引力和惯性力是等效的.这一原理建立在引力质量与惯性质量的等价性上.根据等效原理，爱因斯坦把狭义相对性原理推广为广义相对性原理，即物理定律的形式在一切参考系都是不变的.物体的运动方程即该参考系中的测地线方程.测地线方程与物体自身固有性质无关，只取决于时空局域几何性质.而引力正是时空局域几何性质的表现.物质质量的存在会造成时空的弯曲，在弯曲的时空中，物体仍然顺着最短距离进行运动(即沿着测地线运动——在欧氏空间中即是直线运动)，如地球在太阳造成的弯曲时空中的测地线运动，实际是绕着太阳转，造成引力作用效应.正如在弯曲的地球表面上，如果以直线运动，实际是绕着地球表面的大圆走.

惯性力都是保守力验证了爱因斯坦的观点，惯性力也是一种引力，广义相对论的成果之一在于证明了惯性力是一种保守力.由于所有的惯性力都是保守力，可以得出对于同一个物理过程，只要一个参照系能量守恒，那么对于其他参照系能量一定是守恒的，符合爱因斯坦的广义相对性原理——物理规律对于一切参照系都是相同的.能量守恒系统可以称为封闭系统，如果不同的观察者得出结论不同，我们便无法判定该系统是否为封闭系统.爱因斯坦也曾经说：“我坦白地承认我被自然界向我们显示的数学体系的简洁性和优美性强烈的吸引住了……照亮我的道路，并不断给我新的勇气去愉快地正视生活的理想，是善、是美和真.”

作为力学系统的运动规律，利用广义坐标从动力学普遍方程推导出来的拉格朗日方程，对整个力学体系的运动提供了一个统一而普遍的解法.拉氏方程是完整理想的力学体系的最普遍的动力学方程，它给解决动力学问题提供了一个高度统一而又概括的方法.这种表述及其方法，不仅在力学范畴有重要意义和实用价值，而且为研究近代物理提供了必须的物理思想和数学技巧.拉格朗日方程用高度统一规律描述了力学系统动力学的运动规律，反映在：①拉氏方程的形式不随广义坐标的选择而发生变化；②对惯性系统和非惯性系，拉氏方程的形式都一样，说明了惯性力都是保守力；③拉氏方程中的广义坐标、广义速度、广义动量、广义动能都比牛顿力学中的坐标、速度、力、动量、动能具有更普遍的意义.拉氏方程概括了质点、质点组、刚体各种运动的动力学规律.④拉氏方程是从能的角度去研究问题.当系统的主动力为保守力系时，拉氏函数成为力学体系的特征函数；⑤拉氏方程的个数与力学体系的约束条件有关.约束越多，方程数就越少，所以与牛顿力学比较，对多约束的力学体系，拉氏方程就愈能显示出它的优越性.

3.稳定场都是保守力场

如果对于力F可以表示为空间的函数，即F=F（r）,那么力场F称为稳定场.保守力是指在物理系统中，力所做的功与路径无关，仅取决于起始和终止位置的力，保守力沿任意闭合路径所做的功为零.

所有稳定场都是保守力场,这是因为在稳定场中，力不随时间变化，对于任意闭合路径，根据斯托克斯定理=，由于F只与位置有关，其旋度▽×F=0（在满足一定的数学条件下），所以满足保守力的定义=0.

定理1：稳定场都是保守力场.

证明：对于一元实变量函数，只要是连续函数，就是单连通区域，因此环路积分为0.下面换一个角度分析，由于在力学和物理学中对于稳定场F=F(r)而言，F=F(r)都是连续函数，因此黎曼可积，假设U(r)=F(r)，质点从A点沿任意路径从A点到B点，再从B点到A点环绕一周，力F对该质点所做的功为=+=U(B)－U(A)+ U(A)－U(B)=0，因此稳定场都是保守力场.

笔者认为尽管弹力本质上是电磁力，是显含时间的力场，但是随时间变化极小，近似按照稳定场处理.

对于非稳定场环路积分留数（残数）一般不等于0，可以把保守力定义简化为：只与空间位置有关的力.由于重力、浮力^18～29]、静摩擦力^[30]、匀速圆周运动的向心力^[31]、理想单摆摆线拉力^[32]、弹簧弹力^[33～34]、万有引力^[35]、光滑斜面的支持力^[36～37]、惯性力、静电场等都是稳定场，因此这些力都是保守力.

根据dEp=（-f）dr（与F=等价）可以得出只要力场是空间坐标的函数（稳定场），此力一定是保守力，显含时间的力不是空间坐标的函数，是非保守力.势能显含时间的充要条件是力场显含时间.

反之如果力场显含时间，就不再是单连通区域，一般情况下环路积分不等于0，就不是保守力场了，动电场、磁场是非保守力场.

4.力的保守性具有伽利略变换的不变性

定理2：在两个相对匀速运动的惯性系o、O₁中，如果o系中力f是保守力，那么在O₁系中该力F=f也是保守力.

证明：设0时刻惯性系o、O₁完全重合，且O₁系相对于o系以正常数u的匀速开始运动.设t时刻，质量为m的质点在惯性系o的位矢、速度、加速度、受的力、做的功中分别为：r，v，a，f，w，在O₁系中分别为：R，V，A，F，W，则据微分运算有

R=r-ut，V=v-u，A=a-0=a，F=mA=ma=f；                                   (1)

dR=Vdt=vdt-udt=dr-udt.                                                   (2)

dW=F×dR=f×(dr-udt)=f×dr-u×madt=dw-mu×dv=dw-md(u×v)，                   （3）

=-d(u×v)，W=w-mu×v+mu×v₀.                                  （4）

由dv=adt和dr=vdt知，W=w-mu×v+mu×v₀=w₁(t)-mu×q(t)+mu×v₀=j(t)，           (5)

由于R=r-ut=r(t) -ut=φ(t)                                               (6)

是关于时间t的连续函数，质点在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此R=φ(t)也是可导函数，如果该函数出现常值函数区间，质点静止，受到的力是0，不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单调区间，根据反函数的定义在该区间上存在反函数t=φ^-1(R)，在区间D上W=j(t)=j₁(R)是位置的函数，对时间的偏导数等于0，F是保守力.由于在任意单调区间上成立，所以该结论在任何位置都成立，F=mA=ma=f是O₁系中的保守力.

另证：F（r）=F₁（R-ut），由于R=r+ut=r(t)+ut=φ(t)是关于时间t的连续函数，质点在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此R=φ(t)是可导函数，如果该函数出现常值函数区间，质点做匀速直线运动，受到的力是恒力，不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单调区间，根据反函数的定义在该区间上存在反函数t=φ^-1(R)，所以F（r）=F₁（R -ut）=F₁（R-uφ^-1(R)=F₂（R）                                                    (7)

仍然是位置的一元函数，对时间的偏导数等于0，不是显含时间的力.有些文献^[38]仅仅从F=f（r）=F₁（R-ut）出发得出显含时间的力，其实经过数学变换可以消去时间t，力经过伽利略变换后仍然可以表示为位置的函数，此时只能说是隐含时间的一元函数，文献[39～42]的观点是错误的.

力的保守性具有伽利略变换的不变性，才具有科学美.场的性质是它本身的属性，和坐标系的引进无关.引入或者选择某种坐标系是为了便于通过数学方法和进行计算和研究它的性质.济慈所说：“凡想象为美的东西必然是真实的——不管它以前是否存在”.韦尔也说过：“我的工作总是力求把真和美统一起来，但是当我必须两者选一时，我通常选择美.”

参考文献：

[1]梁天麟，周凌云.从惯性力场与引力场等效到经典动力学方程的不变性.黄淮学刊，第8卷第1期，1992（3）：27～32.

[2]徐满平.惯性力的性质研究.池州师专学报，第14卷第3期，2000年8月：21～25.

[3]李子军.关于非惯性系机械能守恒问题的一点讨论.大学物理，1992（6）：41.

[4]张建忠.对机械能守恒条件的讨论［J］.集宁师专学报，2006，28（4）：68～69.

[5]刘力.保守力场中圆运动的稳定性.济宁师范专科学校学报，第23卷第6期，2002（12）：21～22.

[6]杨振东.离心力势能教学应用三例.物理通报，2020（4）：15～17，21.

[7]吕宗禄.惯性力场和保守力场的等效性及其应用.工科物理增刊，2000:249～254.

[8]侯如松.惯性力是保守力吗.大学物理，1989（11）：47，27.

[9]徐水源.惯性力为保守力的物理条件.常石教育学院学报，2005（3）：63～65.

[10]房晓勇.动力学基本守恒定律在非惯性系的表述.纺织高校基础科学学报，第8卷第1期，1995（3）：100～103，111.

[11]殷保祥.对非惯性系动力学方程的讨论.丝路学坛，1998年第2期，19～21.

[12]吴森.要求角速度一定为常矢量吗？——非惯性系机械能守恒定律的一个特例.五邑大学学报（自然科学版），第9卷第2期，1995：45～49.

[13]杨景芳，黄耀清.非惯性系中的“三大定理”与机械能守恒.大庆高等专科学校学报，第19卷第4期，1999年12月：27～29.

[14]林景波.非惯性系中机械能守恒与参照系选取无关的条件确定.通化师范学院学报，第30卷第2期，2009（2）：27～29.

[15]马秀艳.非惯性系中机械能守恒定律.安阳师范学院学报，2012（5）：120～121.

[16]杨习志，赵坚.关于机械能守恒定律是否满足相对性原理的探讨.物理教师，第41卷第5期，2020（5）：65～67，72.

[17]舒幼生.力学.北京大学出版社，2005年9月第一版，2005年9月第一次印刷，85.

[18]杨子立.关于浮力的几点分析.绥化师专学报,2001（6）：99～100.

[19]胡毅,阮士军.关于浮力的几点讨论.郧阳师范高等专科学校学报, 2004(12),Vol.24.No.6:7～8.

[20]张晓森,肖玉林.一类浮力问题的规律性分析.中学物理,2011(5),Vol.29.No.5:16～17.

[21]郑金.弹性势能公式的妙用.新课程（中）,2011（8）：143.

[22]屈志红.浮力是否是保守力.锦州师范学院学报，第21卷第4期,2002（12）：67～68.

[23]照那木拉.关于浮力场概念的引入及其P的力能二重性.内蒙古民族大学学报（自然科学版），2002（6）:558～560.

[24]胡义嘎.浮力是保守力.赤峰学院学报（自然科学版），第28卷第11期（上），2012（11）:18.

[25]罗腊春.浮力与浮力做功.物理教师，第36卷第5期，2015（5）：96～97.

[26]胡义嘎.浮力势能.内蒙古师大学报自然科学（汉文）版,1999年12月,第28卷第4期（增刊）：31～33.

[27]胡义嘎.浮力势能及其四种表示方法.赤峰教育学院学报,2003年第5期：104,106.

[28]孙石,宋兆丽.水球浮力势能及弹射速度的计算.吉林师范大学学报（自然科学版）,2003（8）：108～109,113.

[29]高义华，鲁周超，李文川.阿基米德原理与浮力赝势能——在重力势能章节引入浮力之本质解释.物理，第50卷第6期，2021（6）：402～404.

[30]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程，高等教育出版社，2004年第二版，113～114.

[31]李学生.匀速圆周运动中的机械能守恒问题.论证与研究，2020年第8期：9.

[32]李学生.对一道困扰力学界五十多年习题的思考.百科论坛，2020年7月（上）:74～77.

[33]刘明成，刘文芳，赵文桐．弹力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(12)：109～111．

[34]李学生，师教民.对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷.物理通报，2014（9）：119～120.

[35]刘明成，赵文桐，刘文芳.引力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(6)：123～124．

[36]张翠．斜面上下滑滑块机械能守恒问题新解．物理通报，2016(9)：115～117.

[37]赵文桐，刘文芳，刘明成.重力机械能守恒定律在各惯性系都成立.物理通报，2015(3):96～98.

[38]谢永珠，凌寅生.物理定律在惯性坐标系间的形式不变性.物理教师，1999（7-8）：68～69.

[39]白静江.机械能守恒定律的一个推广.黄淮学刊，1995（3）：68～73，56.

[40]李卫平，罗洁.注意力的保守性和参照系的关系.中学物理，2013年3月第5期：42～43.

[41]刘瑞金.机械能相关问题的讨论.淄博学院学报（自然科学与工程版），2001（12）：47～50.

[42]朱如曾.力场与时间有关系统的功能定理及其应用.大学物理，2016（10）：11～16.

Correct  several  misunderstandings  about  conservative  forces

 Liu Ming-cheng

(College of Physics‚Hebei Normal University‚Shijiazhuang 050016‚China)

Abstract: First, the definition of a force field explicitly containing time (an unstable field) was given. Then it was proved that all inertial forces are conservative forces and that inertial forces are equivalent to gravitational forces, thus verifying Einstein's equivalence principle. After that, it was demonstrated that all stable fields are conservative force fields, simplifying the definition of conservative forces. Finally, it was proved that the conservativeness of forces has the invariance under Galilean transformation, correcting the mistakes in some literature.

Key words:inertial force;gravitational force; equivalence principle; conservative force; stable field; force field explicitly containing time