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动量守恒定律与角动量守恒定律的协变性疑难

刘明成

           （河北师范大学物理学院，河北 石家庄  050016）

摘要：分析了经典角动量守恒定律不具有伽利略变换的不变性，动量守恒定律对于非惯性系系不协变，重新表述了角动量守恒定律和动量守恒定律，使其对于任何参照系都协变，最后对经典力学中三大守恒定律进行了比较.

关键词：角动量守恒定律；角动量定理；动量守恒定律；力学相对性原理；协变性

一.爱因斯坦对于相对性原理的坚信

爱因斯坦在1927年为纪念牛顿逝世200周年的文章中指出：“伽利略已经在认识运动定律上作了一个意义重大的开端.他发现了惯性定律和地球引力场中的自由落体定律…….但是应当注意，上面这两条陈述都是讲的整个运动，而牛顿的运动定律则回答这样的问题：在外力的作用下，质点的运动状态在一个无限短的时间内应该如何变化？只有考虑到在无限短的时间内发生了什么（微分定律），牛顿才得到一个适用于任何运动的公式.”^[1]爱因斯坦认为：“我相信自然定律的简单性具有一种客观的特征，它并非只是思维经验的结果.”爱因斯坦之所以不愿意“舍弃相对性原理”，那是因为他坚信，“有两个普遍事实在一开始就给予相对性原理的正确性以很有力的支持.”^[6]爱因斯坦指出：“必须承认经典力学在相当大的程度上是真理 …… 因此，在力学的领域中应用相对性原理必然达到很高的准确度.”^[2]爱因斯坦指出：“由于我们的地球是在环绕太阳的轨道上运行，因而我们可以把地球比作以每秒大约30公里的速度行驶的火车车厢.如果相对性原理是不正确的，我们就应该预料到，地球在任一时刻的运动方向将会在自然界定律中表现出来，而且物理系统的行为将与其相对于地球的空间取向有关 …… 但是，最仔细的观察也从来没有显示出地球物理空间的这种各向异性（即不同方向的物理不等效性）.这是一个支持相对性原理的十分强有力的论据.”^[2]爱因斯坦这段论述的逻辑非常清晰：如果能找到地球物理空间各向异性的证据，就可以证明“相对性原理”是不正确的！

相对性原理是一个地位非常高的原理，它背后有着深刻的哲学和美学思想，它不是一个物理理论，而是对于物理理论的一个要求，满足相对性原理是一个理论成立的必要条件.从数学角度来看，物理定律满足协变性是必要的但不是充分的，这是合乎逻辑的.任何一个正确的命题，它的逆命题不一定成立，而逆否命题一定成立.相对性原理在物理学中的权威性就由它的逆否命题表述来体现，它有否决权，不满足一定错误.

二.角动量（动量矩）守恒定律不满足伽利略变换

角动量（动量矩）守恒定律是反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律，尽管角动量（动量矩）守恒定律可以从牛顿定律中推导出来，但是它不受牛顿定律适用范围的限制，不论是研究物体的低速运动还是高速运动，不论是宏观领域的物理现象还是微观领域的物理过程，角动量（动量矩）守恒定律已被大量实验证明是正确的，无一相悖.角动量守恒的实质上对应着空间旋转不变性(体系整体绕任意轴n旋转δφ时，体系的哈密顿算符不变).当体系处于中心对称场或无外场时，体系具有空间旋转不变性.

角动量守恒定律满足相对性原理，相对性原理是指物理规律在不同惯性参考系中应该具有相同的形式.也就是说，无论参考系如何运动，物理定律都应该保持不变.角动量守恒定律是一种基本的物理守恒定律，它描述了一个系统在没有外部力矩作用时，其角动量保持不变.在相对论中，角动量守恒定律同样适用.当一个系统从一个惯性参考系转换到另一个惯性参考系时，角动量守恒定律的形式不会改变.无论参考系的运动状态如何，只要没有外部力矩作用，系统的角动量都将保持守恒.例如考虑一个旋转的物体，在一个惯性参考系中观察到它的角动量守恒.当我们将参考系转换为另一个运动状态不同的惯性参考系时，根据相对性原理，角动量守恒定律仍然成立.相对性原理是相对论的核心原则之一，它确保了物理规律的一致性和普遍性.角动量守恒定律作为一种重要的物理规律，也遵循相对性原理，因此角动量守恒定律满足相对性原理，无论在哪个惯性参考系中观察，只要没有外部力矩作用，系统的角动量都将保持守恒.这一性质使得角动量守恒定律在各种物理问题的研究中具有广泛的应用.

下面首先研究一下角动量（动量矩）守恒定律的协变性问题，以匀速圆周运动为例：

例1如下图，有一质量为m的小球（视为质点），在轻绳（忽略质量）的牵制下，在光滑的地面上绕O点做匀速（速率为v）圆周运动，如果忽略地面和空气摩擦阻力，问：小球在地面系和沿x 轴匀速运动的小车（设小车的速度为u）坐标系(O₁-x₁y₁)，角动量（动量矩）守恒定律是否都成立？

解析：地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系.

假设地面系质点的坐标为（x，y），速度为v，横轴的分速度为x′，纵轴的分速度为y′，质点受到的力矩M，质点的角动量为L，拉力为f，拉力在x轴、y轴的分力分别为f_x、f_y，横轴的分加速度为x′′，纵轴的分加速度为y′′；小车系质点的坐标为（x₁，y₁），速度为v₁，横轴的分速度为x₁′，纵轴的分速度为y₁′，质点受到的力矩M₁，质点的角动量为L₁，横轴的分加速度为x′′，纵轴的分加速度为y′′.

⑴     在地面系——设初相为0， v=ωR，x=Rcosωt，y=Rsinωt；x′=-Rωsinωt，y′= Rωcosωt；f_x=m x′′= -mRω²cosωt，f_y=m y′′=-mRω²sinωt.=0，质点对圆心的角动量L=mR²ω，方向不变，角动量（动量矩）守恒定律成立.

⑵     小车系——将运动方程作伽利略变换，写出小车系运动方程：

x₁=x-ut=Rcosωt-ut，y₁= y=R sinωt；x′₁=x′-u=-Rωsinωt-u，y′₁= y′= Rωcosωt；

p=mv=(-mRωsinωt-mu，mRωcosωt，0)，r=( Rcosωt-ut，R sinωt，0)，

f_x=m x′′= -mRω²cosωt，f_y=m y′′= -mRω²sinωt.

L₁=r₁p₁=(0，0，mR²ω+umRsinωt-utmRωcosωt)，L₁′=(0，0，utmRω²sinωt)，

M₁= r₁f=(0，0，utmRω²sinωt).

根据上面的计算可以得出，角动量、合力矩不具有伽利略变换的不变性，经典角动量（动量矩）守恒定律也不具有伽利略变换的不变性，即不满足力学相对性原理，文献[3～6]也说明了这个问题.伽利略相对性原理仅指经典力学定律在任何惯性参考系中数学形式不变——所有惯性系都是等价（平权）的.

因为力学相对性原理要求所有惯性系等价，同一个物理过程在静止惯性参照系角动量守恒，在运动惯性参照系角动量不守恒，这是力学相对性原理所不允许的.如果角动量（动量矩）守恒定律不满足伽利略变换的不变性，就应当从牛顿力学中独立出来，这样经典力学便由牛顿力学与角动量（动量矩）守恒定律共同组成，体系就比较复杂了.

三.对于角动量（动量矩）守恒定律表述的重新思考

角动量（动量矩）守恒定律对于非惯性系，需要引入惯性力矩，除非合力矩为0，一般角动量不守恒，因而不能直接在非惯性系中应用角动量（动量矩）守恒定律，不符合爱因斯坦的科学思想——物理规律对于所有的观察者都相同.

笔者认为，作为力学定律（定理）必须具有普遍性，不具有协变性的命题不能称之为力学定律（定理），不能等同于一般的真命题，对于某一个确定的物理过程，在一个参照系成立，在另一个参照系也必须成立，即满足协变性的要求.经典角动量（动量矩）守恒定律不能满足这个要求，而且在很多情况下质点受到的合力矩不等于0，因此有必要重新表述角动量（动量矩）守恒定律，使其满足上述要求^[7].

我们不能认为角动量守恒定律应用了这么长时间一定是完善的.有人认为：惯性系对于力学规律是平权的，意味着力学规律的数学表述具有协变性，不是意味着力学规律的结论具有协变性.在一个惯性参考系中，质点系相对某点角动量守恒，意味着质点系对该点的力矩和为零，如果变换到另外一个惯性系，参考点发生变化，质点系对该点的力矩和可能就不为零，条件发生了变化，结论自然会发生变化.如果这样理解，我们就可以去掉机械能守恒定律，直接表述为动能守恒定律：如果质点（或者质点组）受到合外力为0，则质点（或者质点组）的动能不变，即若F_合=0，则E_k=const.这样表述对于惯性系协变，对于非惯性系不协变——条件发生了变化，增加了非惯性力合外力不等于0了.如果表述为：如果质点（或者质点组）受到合外力的功为0，则质点（或者质点组）的动能不变，即若W_合=0，则E_k=const.这样表述对于惯性系和非惯性系都不协变，例如匀速圆周运动.

四.角冲量（冲量矩）的引入

在刚体转动中引入冲量矩的概念----力矩对时间的累积效应，角冲量（冲量矩）的定义：质点对于某一点（或某轴）受到的合力矩对于时间积分称之为角冲量（冲量矩），记为N(t)=.这个定义在2019年经全国科学技术名词审定委员会审定发布.

对质点的冲量矩等于力矩与力矩作用时间的乘积，即冲量矩dL=M·dt.对于质点系，由于内力矩可以相互抵消，可得dL=(M_外+M_内)·dt=(M_外+0)·dt=M_外·dt.在一段时间内，质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加，dL_总=∑dL=∑M_外·dt(dL为矢量，方向与M_外相同，单位是N·m·s).

把角动量定理两边同时积分可以得到角动量定理积分形式——角冲量（冲量矩）定理：质点对于某一点（或某轴）的角动量与该点受到角冲量（冲量矩）之差不变，即L(t)-=L(t₀)，该命题与角动量定理的微分形式是等价命题，具有伽利略变换的不变性，满足力学相对性原理.玻尔认为：“描述自然界的目的不在于提示现象的真实本质，而只在于尽可能远地把各种各样经验的各个方面之间的关系追溯出来.”

冲量矩大小等于作用在物体上的外力矩与作用时间的乘积，方向与力矩相同，也等于作用在物体上的冲量与力臂的乘积，课用以描述物体转动状态变化的情况——转动物体所受的冲量矩等于这段时间转动物体动量矩的变化.著名的科学家兼哲学家怀特海指出，不论探讨哪个领域，任何事物的本质都不可缺少地具有两个原则：变化和守恒.

五.角动量（动量矩）守恒定律与动量守恒定律的协变性问题

角动量（动量矩）守恒定律——对于任何参照系，质点在运动过程中对于同一点（或某轴）的角动量与角冲量（冲量矩）之差不变，L(t)- N(t)= L(t₀)=const（内禀角动量）.内禀角动量对于所有的平动参照系相同，与参考点的选择有关.

这样角动量（动量矩）守恒定律就是角动量定理的变形，由于角动量定理对于所有的参照系都协变，因此角动量（动量矩）守恒定律对所有参照系都协变，对所有参考点都成立，表达了旋转过程中的不变量.

对于孤立系统由于所受外力为0，角冲量（冲量矩）始终为0，因此角动量始终守恒，这也是现代物理学中由于把场包括在内而不必引入角冲量（冲量矩）的原因.

广义相对论认为：所有的参照系在描述自然规律方面都是等价的，即所有的自然规律在一切参照系中的数学形式都是相同的.角动量定理对于所有参照系都成立，这样表述角动量（动量矩）守恒定律与角动量定理积分形式比较，只进行了一次恒等变形，经典角动量（动量矩）守恒定律的一个推广，所以对于所有参考系都成立，符合爱因斯坦的思想——物理规律对于所有的观察者都相同.爱因斯坦认为，物理理论分为“构造理论”和“原理理论”，原理理论“应用分析而不是综合的方法，其出发点和基础不是假设的要素，而是经验上观察到的现象的一般性质、一般原理；从这些性质和原理导出这样一些数学公式，使其用于每一自身出现之处.”“原理理论的优点，是它们逻辑上的完善，和它们基础的牢固.”

文献[8]证明了动量定理对于所有的参照系都协变，动量守恒定律仅仅对于惯性系协变，对于非惯性系不协变，为了解决这一矛盾类似地，动量类比上面的角动量，合外力冲量I(t)=类比角冲量（冲量矩），动量守恒定律表述为——对于任何参照系，一个系统的动量与合外力冲量之差是一个常数（内禀动量），P(t)-I（t）=P(t₀)=const.内禀动量对于不同的参照系不同，因为P(t₀)对于不同的参照系不同.这样动量守恒定律就是动量定理的变形，由于动量定理对于所有参照系都协变，因此动量守恒定律对于所有的参照系都协变，对所有方向都成立，反映了空间的均匀性.

动量定理方程的两边同时叉乘力臂R就得到角动量定理，同理动量守恒定律方程的两边同时叉乘力臂R就得到了角动量守恒定律.动量、角动量（动量矩）、角冲量（冲量矩）都不具有伽利略变换的不变性，冲量具有伽利略变换的不变性.

建立广义协变的守恒定律一直是广义相对论中的基本问题之一，文献[9]证明了动量定理对于所有参照系都协变，经典动量守恒定律对于所有惯性系守恒条件协变，对于非惯性系不协变^[10]，在狭义相对论框架内经典动量守恒定律对于所有的惯性系也协变^[11]；经典角动量（动量矩）守恒定律对于惯性系也不协变.重新表述角动量（动量矩）守恒定律、动量守恒定律后分别是角动量定理、动量定理的等价形式，自然符合相对性原理的要求，应用范围拓广了，不再仅仅适用于合外力为0或者合外力力矩为0.

在机械能方面，保守力作用下系统的拉格朗日量定义为动能与势能之差：，与此类似.在均匀时空下，体系的拉氏函数就反映了体系运动的能量.于是我们可以这样理解：当一个体系处于外场中，设法消除外场的影响，使之处于局部均匀的时空时，体系所具有的运动能量就是拉格朗日函数.类似地，当一个体系处于外场中，设法消除外场的影响，使之处于局部均匀时空时，体系所具有的运动动量就是系统的动量与合外力冲量之差；体系所具有的运动旋转量就是系统的角动量与角冲量（冲量矩）之差.动量守恒定律最好称为运动量守恒定律，角动量（动量矩）守恒定律最好称为旋转量守恒定律，为了与传统理论一致，不改变名称也可以.

牛顿讲：“大自然总是喜欢变化与快乐.”变化未必只有一个物理量发生变化，在变化过程中几个物理量之间以某种关系保持守恒，在变化过程中找寻不变量应当是物理学的重要任务之一.在物理学中，发现任何一个能概括许多现象的守恒量都是令人欣喜的事.赵凯华认为：“研究一个规律的表述所具有的对称性，并设法消除某种不对称因素，从而使其规律的表述具有更多的对称性，这无疑是有重要意义的.因为它不仅满足人类对于美（对称，和谐）的心理追求，而且更重要的是使表述的规律具有更大的普遍性.

在上面的命题中，当合力矩也等于0时，便是经典角动量（动量矩）守恒定律，符合对应原理要求，即经典角动量（动量矩）守恒定律是上述命题的一个特例，经典角动量（动量矩）守恒定律在运动系需要增加一个物理量——角冲量（冲量矩），对于固有参照系这一项正好为0.对于同一个物理过程，不同参照系的观察者测量的机械能（动能+势能）、动量与冲量之差、角动量与角冲量（动量矩与冲量矩）之差都是协变量，都是常量或者都是变量.

在地球绕日运动的椭圆轨道中，以太阳为参照系角动量守恒，以相对于太阳匀速运动的参照系看来角动量不守恒，但是角动量与角冲量（冲量矩）之差守恒.地球围绕太阳公转，以太阳为参考点，地球看做质点的话，受到的合力矩为0，可是事实上地球并不是质点，其内部存在着其他力，因此地球的公转的角动量应该稍微减少，不过日—地轨道角动量是十分巨大的，相比之下地球的自转角动量十分渺小，不容易观察而已.

容易验证在上面的匀速圆周运动中，考察上述命题显然满足伽利略变换的不变性.假设把单摆固定在地面上，在地面上有一辆匀速运动的小车，在小车系看来摆锤的角动量不守恒，但是角动量与角冲量（冲量矩）之差守恒.本文验证了相对性原理和单独的协变性是一回事，方程的协变性是相对性原理的表现形式，文献[12～18]的观点是完全错误的，文献[19]详尽地分析了相对性原理和协变性的关系，本文不再赘述.文献[20]指出：国外大学物理对伽利略变换的描述不仅考虑所有惯性系中时间、加速度、受力的不变性，同时阐述了伽利略变换下动量守恒与机械能守恒不变性的关联和必然性.反观我们国内的教材(包括使用最普遍使用的教材)对这部分描述几乎是模板式轻描淡写，描述也仅仅是在绝对时空中的两个惯性系之间简单的速度变换式.多数教材把相关内容放在狭义相对论的开始，几乎没有描述伽利略变换最核心的一些内容——牛顿运动定律的不变性和守恒定律不变性的关联和必然性.由于国内大学物理教材普遍对这部分讨论的不足，导致大学生，中学生对这部分概念认识模糊甚至是混乱.文献[21]在广义相对论中建立了广义协变的角动量（动量矩）守恒定律，在广义相对论中由于没有力，只有时空的弯曲，因此也无需引入角冲量（冲量矩）.

文献[22]仅仅从惯性系考察经典动量守恒定律得出动量守恒定律对于所有的惯性系都协变，如果考察非惯性系就可以得出经典动量守恒定律不协变，不满足爱因斯坦广义相对论性原理.文献[22]误认为转动时势能不变得出经典角动量守恒定律具有伽利略变换不变性的错误.

五.力学中三大守恒定律的比较

证明：因为所以机械能守恒定律是时间均匀性的体现.

因为所以运动量守恒定律是空间均匀性的体现.

当然动量守恒定律、角动量守恒定律也可以类似于机械能守恒定律的表述方法表示为之和的形式，只是形式的变化，没有实际的意义，例如把冲量的相反数叫做动量流（动量势），角冲量的相反数角动量流（角动量势），这样就可以统一为：动能+势能=const，动量+动量流=const，角动量+角动量流=const.三大守恒定律也都可以表示为差的形式：质点的动能与所受保守力功的差不变.这是一种协变类比，协变类比方法又称数学相似类比法，根据对象的属性之间可能具有某种确定的协变关系(即函数关系)而进行推理的一种科学推理方法.它有两种形式:一种是根据两个对象的各个属性在协变关系中的地位与作用的相似，推出它们的数学方程也相似，如法国物理学家德布罗意(L.de Broglie)依据物质粒子和光都具有波粒二象性，经类比，从光的能量公式(E=hv)和动量公式(p=h/λ)推出物质粒子的波长公式为λ=h/mv，即由p=mv=h/λ转换而来；另一种是从两个对象的数学公式相似，推出它们在其他属性上也可能相似.德布罗意依据光运动服从光线最短路程原理(费尔马原理)与质点运动服从力学的最小作用原理(莫泊图原理)的数学公式的相似性，经过类比，由光具有波动性和粒子性推出物质粒子也具有波动性的结论.协变类比是建立在自然界和谐统一的基础上.这种和谐统一表现在各种现象领域的数学形式的“惊人的类似”.例如牛顿力学的引力势，电学中的静电势，热流处于平衡状态下的温度分布，液体的某种流动等，都可以描述为一个二阶偏微分方程的形式.应用协变类比，可以在科学研究中进行方法移植，并通过进一步地研究揭示不同对象之间的内在联系.协变类比定量地描述了对象的属性之间的关系，较之定性描述的类比，属性之间的关系更为确定，可靠性也更高.

在动能定理中是合外力的功，在机械能守恒定律中是保守力的功，问题的关键在于非保守力的功不能定义势能.耗散力做功熵增加，不具有可逆性.在没有外力的作用下，质点的动能、动量、角动量都守恒，这是惯性的表现形式.

对于同一个物理过程，不同参照系的观察者测量的机械能（动能+势能）、动量与冲量之差、角动量与角冲量（动量矩与冲量矩）之差都是协变量，都是常量或者变量.经典动量守恒定律、角动量（动量矩）守恒定律分别是动量定理、角动量定理的特例，不是等价形式，类似于机械能守恒定律中质点势能不变（或者保守力不做功）时，质点动能也不变，显然不是对于任何参照系都协变，因为保守力在一个参照系不做功，在另一个参照系可能会做功，即质点的动能在一个参照系守恒，在另一个参照系可能不守恒，例如匀速圆周运动中的质点.三大守恒定律表述形式既相似也有别，这是对称的绝对性和相对性的表现形式.“对称性原理在上述研究工作中起着重大作用，它能使我们从事物之间的联系上考虑问题，从而使我们迅速抓住问题的实质.”

在牛顿力学中把牛顿第一定律、第二定律、第三定律作为实验定律，可以推导出动量守恒定律，如果把动量守恒定律作为实验定律，也可以推导出牛顿第一定律、第二定律、第三定律，把P(t)-I（t）=P(t₀)对于时间t求导数就得出牛顿第二定律：F=ma，在牛顿第二定律中令a=0就得出牛顿第一定律v=const（这样处理牛顿第一定律可以看做是牛顿第二定律的特殊情况，原来的表述牛顿第一定律是牛顿第二定律的基础，不是特殊情况），对于两个相互作用的物体动量守恒，作用力和反作用力大小一定相等，方向一定相反，否则动量就不守恒了.笔者建议把动量守恒定律作为实验定律，牛顿第一定律、第二定律、第三定律作为动量守恒定律的推论，这样牛顿力学就更加简洁了.

牛顿力学理论中容许超距力（在弹簧振子和单摆问题中弹力虽然是接触力，但是由于力源不是研究对象，仍然按超距力处理），须引入势能、冲量、角冲量（冲量矩）.可是在狭义相对论中，若考虑电磁场的能量、动量、角动量，则只有接触作用，不需引入势能、冲量、角冲量（冲量矩）.例如狭义相对论中质能方程的推导可以看到狭义相对论中无需考虑势能——在经典力学中，物体的动能是使物体从静止状态到具有速度的状态，这一过程中外力所做的功，即                                                  (1)

                  (2)

即，这就是著名的爱因斯坦质能方程，它同时还适用于宏观和微观粒子.(2)式中的物体质量的变化是由于运动而发生变化，能量也是由于运动而发生变化的.则：                                                    (3)

当物体静止时能量.但物体仍具有静止能量.这表明，静止的物体内部存在着粒子的运动.质能方程表明了质量和能量的变换关系，但丝毫不说明质量和能量之间可以按照此式相互转换.总之，客观世界中不存在着这样的过程.但是，动静质量之间可以发生的微观的小量转换，能产生巨大的能量.核能释放，甚至是天文学上的恒星的长久的高强度辐射都可以用质能关系所解释的.

牛顿力学中的动量守恒定律、角动量（动量矩）守恒定律与狭义相对论中动量守恒定律、角动量（动量矩）守恒定律的表述有一定的区别.狭义相对论的能量—动量守恒定律特别适用于研究基本粒子之间，包括湮灭、创生等现象在内的反应，而牛顿力学理论的动量守恒定律、能量守恒定律与质量守恒定律无法研究这些反应.爱因斯坦讲：“物理学构成一种处在不断进化过程中的思想逻辑体系.”

运动与相互作用观念是从物理学视角形成的关于运动、相互作用以及力与运动联系相关问题的基本认识^[23].

参考文献：

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[23]付雨晴.高中物理教学中运动与相互作用观念的建构研究[D].大连:辽宁师范大学,2022.

The Difficulty of Covariance between the Law of Conservation of Momentum and the Law of Conservation of Angular Momentum

Liu Ming-cheng

(College of Physics‚Hebei Normal University‚Shijiazhuang 050016‚China)

Abstract：It is analyzed that the classical law of conservation of angular momentum does not have the invariance of Galileo transformation.The law of conservation of momentum is not covariant for non inertial frame. The conservation law of angular momentum and the law of conservation of momentum are re expressed to make them covariant for any reference frame，finally a comparison was made among the three conservation laws in classical mechanics.

Key words：conservation law of angular momentum；angular momentum theorem；law of conservation of momentum；principle of relativity in mechanics；covariance