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数学与物理关系探微

无论是“自然上帝”还是辩证逻辑都显示了和中国文化源头的联系.中国古代的数学是建立在自然基础上的，而不是建立在“人为”基础上的.《易经》则是最原初的辩证逻辑，它的图式图像显示了“对立统一”和“变化”的辩证逻辑的原则.技术的异化本质是由“数学上帝”的范式所导致的，即我们用“人为”的数学认识并改造了自然，自然失去了它原本的样子.所以我们要恢复自然本身.“自然上帝”于是成为了科学的新范式，它担当起改变技术异化的作用.而“自然上帝”正是中国文化的特点，于是中国文化担当了改变技术异化的历史使命.

对阿蒂亚来说，物理学和数学之间的神秘关系都归结为人脑.“人类是长期进化的产物，其中强大的大脑是一个优势.这样的大脑是在物理世界中进化而来的，因此进化的成功是通过生理的成功来衡量的，”他在 2018 年的一次采访中解释说.“因此，人类大脑进化来解决物理问题，这需要大脑发展正确的数学.”要做到这一点，大脑还必须适应识别和欣赏自然界中的数学模式.阿蒂亚甚至在 2014年进行了一项大脑成像的合作研究，该研究得出结论，对于数学之美的体验与优美的音乐、艺术或诗歌一样，它们激发大脑的相同部分.这也许可以解释为什么物理学可以成为数学家的指路明灯：从研究现实中产生的那种数学往往是我们的大脑喜欢的那种.

 2010年在与希钦和当时在普林斯顿大学工作的荷兰理论物理学家罗伯特·迪格拉夫（Robbert Dijkgraaf）合著的一篇论文中，阿蒂亚进一步强调了物理学在数学中的成功应用.然而，从那时起，试图理解这种现象的工作就很少了.

最近重新审视这个问题是一位哲学家，博洛尼亚大学的丹尼尔·莫利尼尼（Daniele Molinini）.2023年他发表在《英国科学哲学杂志》（The British Journal for the Philosophy of Science）上的论文，回应了诺贝尔物理学奖得主尤金·维格纳（Eugene Wigner）于1960年撰写的一篇经常被引用的文章，即《数学在自然科学中不合理的有效性》（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences）.然而莫利尼尼出言无忌地回应则是探讨“物理学在数学中的不合理的有效性”（The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics）.他给出一个令人惊讶的回答，一些物理定律可能像数学定理一样无可争议.他说：“我们必须将关于现实世界的一些原则视为基本原理.”

哲学家们普遍同意数学真理成为一种“必然”，因为它们必须在所有可能的世界中都是正确的.而对于自然的真理，经验事实，则是不同的——它们依情况而定.光以恒定的速度传播，但可以说在一个不同的宇宙中，它可能并非如此.也就是说，无论如何，数学真理在过去和将来都是正确的.

是否存在某些物理定律也以同样的方式成为“必然”？在他的论文中，莫利尼尼认为守恒定律可能就是这样的一条定律.在物理学中，系统的某些属性，例如能量不发生改变，一个骑自行车的人从山上自由滑行而下，将她的重力势能转化为动能，但她和她的自行车所拥有的总能量保持不变.

莫利尼尼认为，如果这种守恒是“必然产物”，那也许可以解释阿基米德为何能通过力学的思考成功推断出几何证明的真理性，否则难以解释这一壮举.在这种情况下，物理学和数学是同一枚硬币的两面：两者都是正确的，因为它们都遵循相同的基本原理.

另一种著名的观点则是伽利略在17世纪初表述的，并经常受到数学家的拥护，即宇宙是用数学语言写成的.这个想法有着古老的起源，至少可以追溯到毕达哥拉斯和他的追随者，但一个更晚近和极端的版本是马克斯·泰格马克（Max Tegmark）的数学宇宙假说（mathematical universe hypothesis）——宇宙本身不仅由数学描述，而且是由数学构成的.

在泰格马克的论述中，我们的宇宙只是无数个平行宇宙中的一个，数学的所有无限可能性——每一个定理、每一个证明——都在这个多重宇宙的某个地方实现了.这也难怪物理学激发了数学的新发现——物理学所描述的现实，无论如何，归根结底都是数学的.“实证科学和数学之间存在着密切的联系，”悉尼大学研究数学和物理学之间关系的哲学家马克·科利文（Mark Colyvan）说.“我们可以得出的一个结论是，不知何故，世界本身即数学.”

然而，在这两种表述中，从物理学产生的数学应该非比寻常的丰富.可是已知物理学产生的数学只是所有数学的一小部分（几乎所有数学可能都没那么有趣）.宇宙完全由数学构成并不能解释这个问题.

莫利尼尼正在对一种流行的数学适用性的哲学阐释发起挑战，即“映射”（mapping），他认为这种阐释无法解释为什么好的数学可以从物理学中产生.映射理论认为，通过将物理概念[如质量或间隔（separation）]转化为数学对象，例如牛顿万有引力定律的方程，可以使用它来计算某些东西，然后将其映射回物理属性——两个物体间的吸引力.但莫利尼尼质疑说，当人们试图颠倒它来解释数学是如何从物理学中出现的时，映射过程就失效了.他说，哲学家们对这个问题的兴趣越来越大，他们一直关注为什么数学可以应用于实证科学的反问题，即为什么实证科学可以得到数学.

“现代物理学为数学家提供了一大堆新工具和意想不到的线索，”何杨辉说.“未来，物理学和数学将需要更紧密地合作，以解决纯数学中的一些最大问题.”他表示，罗伯特·朗兰兹 （Robert Langlands） 在 1960 年代构思的朗兰兹纲领（Langlands program）就是这样一个领域，它通常被称为“数学的大统一理论”.据称，该纲领的一个分支，即几何朗兰兹纲领（geometric Langlands），最近由一支数学家团队解决，他们提出的证明横跨五篇论文，长达800 页（编者注：可参阅《在监狱中萌生的数学大一统之愿景，离实现又近了一大步》）.该证明的核心基于最初从共形场论（conformal field theory）中得出的洞见，共形场论是物理学的一个分支，是弦论及其他领域的基石.何杨辉认为，数学家需要借鉴更多的物理学来探索该证明的含义，并在朗兰兹纲领的其他方面取得进展.同样，数学家们已经利用物理学来尝试在黎曼假设（Riemann hypothesis）和BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer conjecture）问题上取得进展，它们是数学中两个最具挑战性的开放问题.何杨辉感觉，这两个领域间的结合将是最终解开这些宏伟命题的关键.何杨辉说：“物理学和数学开始再次合二为一，就像它们在牛顿和高斯的时代一样.”他接受过理论物理学家的训练，但越来越倾向于将物理思想应用于纯数学问题.这是个迷人的想法.宇宙的故事可以用数学的语言写成.但是，尽管这个故事看起来很美好，但有迹象表明，要想比物理学家已经理解得更多，将需要越来越奇特和复杂的数学工具，而且有些工具有待被发明.打破这两个领域之间的壁垒可以为理解双方打开新世界.