4.三变量关系.docx

数字在我们日常生活中不可或缺，它们不仅是用来计算和表示数量的符号，还在物理世界和数学建模中扮演着重要角色．其中，数字“三”是一个特别引人关注和有趣的数字．

在历史长河中，语言文字方面沉淀了很多与特定数字相关的词句．数字“三”就是其中之一，承载了某种程度的界限．例如《三字经》经文；《春秋左转》中的“一鼓作气，再而衰，三而竭”；《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”；《论语》中的“三人行，必有我师”，“三思而后行”；《汉书》中的“三人为众，虽难尽继，亦从尤功”；大禹治水，三过家门而不入；刘备三顾茅庐；三缄其口；事不过三；一日三省等等．在这些词句中，“三”可以理解为约数、虚数，也可以理解为实数．无论哪种理解，都凸显了数字“三”的特殊性和神奇性．

在数学上，“三”也有着特殊的地位，例如三是首个连续等差数列的项数；周期三意味着混沌；证明一般式的数学归纳法分三步；三角形最稳定；不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面；真实空间只有三维等．

在物理学中也有与“三”契合的实例．描述经典运动规律的牛顿三定律、天体运动规律的开普勒三定律和描述热现象规律的热力学三定律等．无独有偶，除了多有三定律之外，物理学中三变量的公式或规律更是比比皆是，典型的就是理想气体克拉伯龙方程（压强、温度和体积）、理想流体的伯努利方程（压强、流速和流高）和理想平抛运动中的射程规律（射程、速度和时间）等等，不胜枚举．这些公式或规律说明了物理学中有关三变量规律非常普遍．

三变量问题有什么玄机在里面吗？实际上，三变量问题被认为是不平庸关系的起点，也是博弈关系的重要体现．因为这样的关系可以更好地描述世界的复杂性和多样性．在形成关系环时，至少需要两个变量．但当且只有两个变量时，他们不是彼此独立的，因此两变量关系是平庸的．一旦变量个数达到三个，三者彼此之间就存在竞争关系，即博弈关系，从而形成动态平衡．一个典型的例子是混沌运动．对于天体系统，当系统中包含三个星体时，星体的运行就可能呈现出复杂的混沌特征，对于时间连续非线性动力系统，只有当系统的维数不低于三时，才可能产生混沌现象．另外，在分析湍流的时空动力学行为的时候，通常通过三波耦合来刻画系统中的不同模式之间的共振．正因如此，三变量问题可以成为我们认识世界的起点，也可以成为考查物理问题与思维训练的出发点．在思维训练方面，三变量思维是非常重要的．在日常学习中，三变量关系往往频繁出现，因此有目的、有效地训练三变量思维对提高学习效果是非常有益的．具体而言，对于三变量Ａ，Ｂ，Ｃ，如果知道他们三者之间的关系，在需要求解变量Ｃ时，自然而然的需要去寻找已知变量Ａ，Ｂ．回顾以往的学习，这种思维模式训练实际上从小学数学基本的加减乘除法就已经开始了．以加法为例，存在两个加数与和三个变量．知道两个加数求和；知道一个加数与和，求另一个加数．在大学物理的教学中，三变量思维的训练仍在继续．例如卢瑟福微分散射截面公式中靶核的带电量、入射粒子的能量与散射角构成了卢瑟福散射实验中在实验上的三个可控变量，通过固定变量法可以对卢瑟福散射进行细致的研究．在与理科相关的各种考查中对三变量关系的考查尤为普遍．因此有意识地训练与提高三变量思维的敏锐度、加深对三变量关系的理解和掌握非常重要．三变量关系还是一个强大的工具．基于这样一种简单模式，它可以生成更复杂的问题．一方面，三变量关系可以通过嵌套在一起，进而生成更复杂的关系．另一方面，变量关系数量的增多也可以生成更复杂的问题．例如物理公式中三变量公式占大部分，但是随着变量数量的增多，四变量，五变量等公式也得以生成．这些都与《道德经》中“道生一，一生二，二生三，三生万物”的哲学思想是统一的．对Ｎ变量的公式，被考查者需要对问题抽丝剥茧，去寻找Ｎ变量关系式中的Ｎ－１个已知变量，然后去得到第Ｎ个变量．这种思考问题的逻辑是对三变量关系思考逻辑的延伸，形成数学归纳法的范式．

可以说，对三变量关系的理解，是人类探究世界本质的重要手段之一．认知规律都是由已知通往未知，这个未知可能是新的发现或发明，也可能是我们需要解决的问题．通过对三变量关系的探究，不仅能够加深对世界的理解，还能够培养人类对复杂问题的分析能力与解决能力．在这种意义上，三变量关系可以成为人类认识世界与培养人类智慧的重要手段本文从与数字“三”有关的现象出发，讨论了数．字三在生活和科学中的特殊性和奇特性．强调三变量关系是很多公式和模型的基础，可以成为我们对世界的认识和理解的重要起点．讨论了三变量关系在思维能力训练和复杂问题的生成中的作用，并从人类认知规律的角度说明了三变量关系的重要性．可以预见，加强三变量关系的概念，对大家的工作、生活、创新等一定能起到赋能的作用．Ａｎｄｅｒｓｏｎ在文献中突出强调了“多者异也”．到底何为“多者”呢？无论从数字还是物理角度而言，数字“三”或许可以看作一个重要参考．