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玻尔对应原理的应用

如要直接利用对应原理思想来求出一个体系的量子化能量，就需要先找出经典轨道频率对能量的依赖关系.

1.氢原子的量子化能量

设电子在Coulomb场                                     （1）

中运动（对类氢离子）.考虑束缚态（E<0），按经典力学，电子轨道是一个椭圆.设半长轴为a，半短轴为b，焦距，偏心率，则电子能量E只依赖于长轴的值为                                                   （2）

电子轨道的周期T也只与a（因而只与能量E）有关          （3）

M为电子约化质量，因此电子轨道运动频率（4）

以上完全是经典力学的结果.现在来考虑如何进行量子化.

Bohr认为，在这些经典轨道中只有某些离散的能量所对应的状态才是稳定的，而这些离散的能量用正整数来标记.他假定                    （5）

无量纲.但如何确定？Bohr提出，当量子数很大时，量子理论所得结果应该与经典力学相同.利用

                                       （6）

考虑电子从轨道（>>1）跃迁到相邻的（）轨道，Δn=1，两条轨道的能量差很小，按式（6）得

=                        （7）

Bohr认为，在n>>1情况下，既然放出辐射之前和之后的轨道频率之比非常接近于1，按照电动力学，可以期望放出的辐射的频率与电子轨道运动频率之比也应很接近于1，即，亦即要求                            （8）

特别是，如果经典轨道概率为                                    （9）

按式（8），即要求n很大时，因而

对于Coulomb场，=3/2.因此，除了一个与n无关的常数项之外，能量可表示为

联合式（4），得

对于类氢离子，有

Bohr认为，可以合理地设想此公式对于量子数n小的轨道也适用.这就是氢原子（类氢原子）的Bohr能级公式，式中n=1，2，3，…，称为主量子数.

既然稳定态的能量是量子化的，可以想到，相应的轨道半径也是量子化的.对于氢原子（Z=1），，式中，式中

称为Bohr半径.类似，稳定轨道的频率也是量子化的，

设电子轨道为圆形，则其轨道角动量为.此即角动量量子化条件.

2.用对应原理分析更一般的跃迁.

设原子从能级跃迁到能级，，放出的辐射频率

应为经典轨道频率的倍，即，所以      （10）

在分析力学中，对于一个周期运动，有下列关系                     （11）

其中                                                        （12）

称为作用量，p与q分别为正则动量和正则坐标.可证明J为绝热不变量.比较式（10）与式（11），得，再利用式（3），得          （13）

此即Sommerfeld等推广了的量子化条件，但更深入研究发现，借助相空间积分形式的量子化条件，式（13）所进行的计算，有时会得出荒谬的结果，Ehrenfest等列举了一些情况来说明这一点.相反，利用对应原理却可以得出有意义的结果.

在光谱观测中，除了光谱线波长与频率之外，还有另一个重要的可观测量，即光谱线相对强度，它与相应的跃迁几率成比例.对这个问题，量子化条件是完全无能为力的，但根据对应原理，可以在一定程度上解决此问题.对此问题，爱因斯坦与玻尔之间是互相影响的.爱因斯坦对玻尔理论给予极高的评价，他根据玻尔的量子映迁概念，重新探讨了物质原子与电磁辐射的作用，成功地解决了自发辐射问题，并给出了一个导出普朗克的辐射公式的简单而漂亮的方法.

考虑E(n)能级通过自发辐射跃迁到一个较低能级，按爱因斯坦的自发辐射的量子理论，单位时间放出辐射能量为，为自发辐射系数，为辐射频率.如知道了，就可以计算自发辐射相应的谱线的相对强度.但如何计算？在量子力学提出以前，惟一的方法只能借助于对应原理.当时，相应的自发辐射频率为，即经典轨道频率的倍.以下以电偶极辐射为例.在经典电动力学中，把电偶极矩P做Fourier展开                         （14）

要求P为实，所以          （15）

对时间求平均后，只有项不为零.所以        （16）

按经典电动力学，这样的偶极振荡体系在单位时间内放射出的辐射能量为

                                                        （17）

如局限于讨论频率为的辐射，则由式（16）与式（17），注意，得出自发辐射系数

根据对应原理还可以类似处理受激辐射、受激吸收以及相应的选择定则等问题.

事实上，在整个Bohr理论中，对应原理的思想正是这个理论的核心.这也正是为什么早期量子论又称为对应原理的量子力学的原因.