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   矩阵及其在量子力学中的应用

1.矩阵的概念

矩阵是一个了不起的数学概念.Matrix，拉丁语的本义是子宫(womb)，与mater(母亲)同源.1850年英国数学家James Joseph Sylvester(1814—1897)造了matrix这个词 [ Additions to the articles in the September number of this journal，“On a new class of theorems，” and on Pascal’s theorem， The London， Edinburgh， and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 37， 363—370 (1850)].在第369页上有句云：“For this purpose， we must commence， not with a square， but with an oblong arrangement of terms consisting， suppose， of m lines and n columns. This does not in itself represent a determinant， but is， as it were， a Matrix out of which we may form various systems of determinants…”. 此外，“I have in previous papers defined a‘Matrix’as a rectangular array of terms， out of which different systems of determinants may be engendered as from the womb of a common parent [The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837—1853， Paper 37， p. 247]”定义了项的矩形阵列，之所以名之为matrix，因为就像从母亲的子宫产生孩子一样从这个矩形阵列中可以产生出不同的systems of determinant.从一个matrix产生出不同的systems of determinant，指的是从一个矩阵中可以划出不同的minor(汉译余子式).矩阵概念的提出，应该与线性方程组有关.

如今我们把n个未知数写成x=(x₁，x₂，…，x_n)的形式，则线性方程组可以简写为M∙x=c，其中c=(c₁，c₂，…，c_n)是一组常数，而M是n×n个常数，排成一个方形阵列，就是英文的square matrix.Square matrix方阵，看看这里出现的情景，它是不是对应方程啊.程，度量衡总称.当然啦，我们把方程M当成了M∙x=c这个事物的整体，对应英文的equation，德文的die Gleichung.然而，西文的equation，die Gleichung，字面上是等式的意思，故他们学方程(等式)的时候自然而然地会关联上恒等式(identity)和不等式(inequality).似乎咱们学方程的时候又吃亏了不少.

2.矩阵在量子力学中的应用

矩阵作为某些对象(实数、复数等)的阵列，本身也可以作为一个对象，有属于它的代数(加法与乘法).矩阵满足结合律和分配律，但是一般来说不满足交换律.这恰是它能在量子力学中发挥作用的原因.

量子力学的一个被传得神乎其神的特点不过就是物理量(算符)的非交换性(满足非交换代数.其实转动在经典力学里一样遵从非交换代数)，矩阵正好有这个性能.一个方矩阵，具体地可写成如下形式：

这里的矩阵元a_ij的指标选取(i， j=1，2，…n)具有一定的任意性，比如把上式改写成

也没关系.不过，当指标(ij)联系着其他物理量时，比如是和一个e^inωt因子结合在一起的，如何选择就有讲究了.你会看到在矩阵力学中，合适的矩阵的标记应该是

的样子，即指标选为(i， j=0，1，…n).矩阵力学的底色是傅里叶分析，傅里叶分析是和周期性存在相联系的.后来的量子力学教科书对这个问题没有感觉，其作者可能根本不知道量子力学在干嘛.

为了用矩阵表示量子力学，光知道矩阵这个概念，甚至还知道矩阵的加法与乘法，那是远远不够的.至少，还应该会熟练地对矩阵作为其他变量的函数以及矩阵作为变量的函数做微积分才行，这也是为什么笔者要强调是约当和狄拉克这两个人对矩阵力学做出重大贡献的原因.

1923年海森伯在慕尼黑大学通过博士考试后去了德国原子科学中心哥廷根大学理论物理首席教授玻恩门下，1925年海森伯首创矩阵力学形式的量子力学理论，以后与玻尔-玻恩一起共同成为量子力学哥本哈根学派的核心.

 一般量子力学教科书甚至都不提矩阵力学，而偏偏矩阵力学才反映量子力学出现的必然性，也是量子力学的精髓所在，AB≠BA；[q，p]=iℏ1；矩阵形式的；以及波动力学用到的p=-iℏ∂，这些都是矩阵力学得到的结果.但是矩阵力学很难懂，连温伯格(Steven Weinberg，1933—2021)这样的物理学巨擘都觉得难懂.在Dreams of a Final Theory (Pantheon Books，1992)一书中，温伯格这样写道：“If the reader is mystified at what Heisenberg was doing， he or she is not alone. I have tried several times to read the paper that Heisenberg wrote on returning from Helgoland， and， although I think I understand quantum mechanics，I have never understood Heisenberg’s motivations for the mathematical steps in his paper”.这倒也道出来了问题的根源，从the paper that Heisenberg wrote on returning from Helgoland是肯定弄不懂矩阵力学的.温伯格这样的物理学巨擘承认自己不理解海森堡论文中的那些数学步骤，可能与他不关注人们理解原子谱线之宽度与明锐度特征的努力有关.

海森堡1925年思考的问题是他在慕尼黑研究工作的继续.海森堡1920年入慕尼黑大学学习，1922年即发表如此水平的论文，可见学术传承的重要前提是有学术可供传承.索末菲是量子论的奠基人之一，他通过本人以及门下一众学生对近代物理的建立厥功至伟.欲弄懂矩阵力学，得读玻恩—约当以及狄拉克1925年的文章以及玻恩—约当1930年的专著Elementare Quantenmechanik(基础量子力学).不是基于原作者的原始论文而是基于后来出现的回忆录、报告、通信以及文化学者们的研究闲谈，是一些涉及矩阵力学的学术论述的通病.比如，不来梅大学的Günter Ludyk在Quantum Mechanics in Matrix Form (Springer2018)一书中写道：“When returning from Helgoland (where he first had this crucial idea) to Göttingen，Heisenberg found out that the operations he applied to these tables were well known to mathematicians. The tables were called matrices， and the operations that he used to get from the table representing the electron velocity to the table representing the square was named matrix multiplication”，这纯属信口开河.在1925年那一年，海森堡不知道矩阵乘法，也没几个数学家知道矩阵.在1925年海森堡一人署名的文章(不是他一人写的)中，矩阵一词就没出现过，而建立矩阵力学的第一篇文章，包含矩阵算法与基于矩阵的量子力学推导的，作者为玻恩和约当.

欲建立起矩阵力学，不仅要知道矩阵算法，还得发展矩阵算法——量子力学表述有发展矩阵算法的需求.对这一点，玻恩、约当和狄拉克都做出了不同的贡献.1925年Heisenberg用Matrix矩阵法解决了粒子能级测量的问题，代替用一系列频率为nn的正弦波的叠加，或叫傅立叶级数展开.它应是一个nn_xy的展开，那就是一个二维表格.它可以形象地描述能级及其差别.他认为：物理就是从实验观察量出发，并以庞大复杂的数学关系将它联系起来的一门科学.现实是，虽然一年后有了波动力学还有了矩阵力学与波动力学等价的(错误)说法(见后续文章)，矩阵力学远不如波动力学那么popular.人们当时欢迎波动力学，以及后来的量子力学基本上都被表现成波动力学形式，是因为把薛定谔方程换成求本征值、本征函数的形式就是纯粹经典的数学物理方程问题了，连一点量子力学的味儿都没有.