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质能方程的非相对论推导

爱因斯坦曾经利用狭义相对论的原理、动量守恒定律、辐射压力的表示式以及光行差的表示式，而没有利用它的形式结构推出质能方程^【1】.证明如下：

“比如，我们考虑另外一个思维实验，它可以从下图（图2）中方便地想象出来.它是图1中一个部分的放大.图中A和B还是相对作匀速V运动的两个平台.在它们之间的空间中有一个自由漂浮的物体Q，从平台观察，它是静止的.我们在各个平台上都建立一个Z-坐标框架来规定Q的位置.

（图1）  

（图2）现在研究，如果两个等同的辐射束R和R¹沿垂直于Z_A轴的直线向着Q运动，并被Q所吸收，这时会发生什么情况？我们可以先从平台A的观点，再从平台B的观点来分析这一过程.我们将始终记住相对论假设——物理定律对各个空间飞行器都是等同的，尤其是动量守恒定律在每组坐标轴上都是有效的.在辐射被吸收以前，相对于X_A-Z_A轴，Q是静止的.自从有了麦克斯韦电磁理论，人们已经认识到能量E的辐射所携带的动量等于E/C，这里C是光速.如果我们赋予每一辐射束R和R¹一份能量为1/2E，则动量为（1/2）E/C，那么被Q吸收的辐射可以设想为：  

由于每个辐射束以垂直于Z_A轴的相反方向击中Q，所以Q相对于X_A-Z_A轴显然保持静止.

现在我们从平台B的观点来看同样的过程.参照这个平台，平台A上的物体都是沿Z_B轴以与速度V的负方向运动的.

辐射束R和R¹在X_B-Z_B上的运动方向由相近的箭头标出.它相对于X_B轴形成角α.正像上图解所表示的，对于小的角，α=V/C有很好的近似.从前面用平台A上的坐标X_A-Z_A所作的分析可知，辐射束R和R¹被Q所吸收，它相对于A的速度（在这里是零）仍然不变.因此，现在用坐标系X_B-Z_B，物体Q的速度在辐射R和R¹被吸收以后也保持不变.

引入狭义相对论假设，并把它应用于动量：动量守恒定律对每个平台（A或B）都有效.尤其是，相对于平台B，我们写出一个辐射被吸收前的表达式，再写出一个辐射被吸收后的表达式，然后令它们相等.由于Q的运动与Z_B轴平行，我们须要考虑沿这个轴的R的动量分量和R¹的动量分量.R与R¹之和加上物体Q的质量M，得到吸收前的动量=2[0.5×E/C×V/C]+MV①，这里用V/C代替角α.在辐射被吸收之后.吸收后的动量=（吸收后的质量）（吸收后的速度），但是我们在平台B上看到物体Q的速度V一定保持不变，因为平台B相对于平台A继续以相同的速度V运动，不受空间中物体Q吸收辐射的干扰.所以，如果动量守恒定律有效，那么MV+EV/C²=（辐射吸收后的质量）×V①，由于E，V和C²都是正数，我们不得不作出结论：辐射吸收后的质量M¹，比吸收前的质量大.明确表达为M+E/C²=M¹①，或E=（ΔM）C²①，即，质量改变直接与能量吸收成正比例.如果选择适当的M和E的单位，我们可省略Δ，得到质-能等当公式的熟悉形式：E=mc²”②

1946年，爱因斯坦在纽约《技术杂志》上发表《质能相当性初探》一文.该文中，爱因斯坦根据麦克斯韦理论推导出：m-m₀=Δm=ΔE/c².由此可见，ΔE=Δmc²是麦克斯韦理论的结果，它与真空光速不变原理无关.至于是否能把ΔE=Δmc²改写成E=mc²，只有优先引入真空光速不变原理才可以肯定.因为麦克斯韦理论著名结论是光速为恒定值.爱因斯坦在这里利用了辐射推导质能方程验证了后面关于引力质量与电磁质量等价性观点的正确性.

参考文献

【1】爱因斯坦.方在庆，韩文博，何维国译.爱因斯坦晚年文集，海南出版社，2000年3月，第1版.