2.广义相对论数学形式的复杂性.docx广义相对论数学形式的复杂性对于广义相对论的数学形式复杂性，世界著名物理学家波恩说：“它的形式复杂得可怕”.广义相对论有三点困难：1、引力场的量子化至今尚未解决，如使引力场与描述其它相互作用的规范场的统一尚未做到.2、彭罗斯和霍金提出的奇性定理，产生有奇性困难，如时间有开始与终结.奇性不可避免暗示着，广义相对论存在某些不自洽.难怪著名学者席阿玛(D．w．Sciama)指出：“我们面临着理论物理的危机.或者经典广义相对论要破坏，或者存在着等效的负能密度，或者因果性不再成立.或者在自然界中存在奇性.”伯格曼(P．G．Bergmann)也指出：“膨胀宇宙极早期存在奇性．这是现有理论观念并不适合于极高密度物质的一个讯号.”(《宇宙学作为科学》，1971).3、相对论与热力学的不协调.如整个物理学、天文学中只有广义相对论中的时空是弯曲的，但它没有考虑时间方向性.量子理论同样也没有考虑时间方向性问题.热力学是物理学中唯一考虑时间方向性的一个分支，认为真实的物理过程不应该处在绝对零度，但它没有考虑时空弯曲的特性.

爱因斯坦和D.希耳伯特几乎同时在1915年得到了完整的引力场方程.方程左边是描述引力场的时空几何量，右边是作为引力场源的物质能量动量张量.显然，这个方程反映了爱因斯坦的马赫原理的思想.谈到广义相对论时，爱因斯坦说：“这理论主要吸引人的地方在于逻辑上的完备性.从它推出的许多结论中，只要有一个被证明是错误的，它就必须被抛弃；要对它进行修改而不摧毁其整个结构，那似乎是不可能的.”

广义相对论不可能是物理理论的终结，寻求一个包含广义相对论基本特点的更普遍的理论，是一种合乎逻辑和经验的努力.为了描述时空中某点的弯曲，爱因斯坦的广义相对论需要有20个坐标的函数来描写.“在解爱因斯坦引力场方程中，存在着数学上的困难.爱因斯坦的引力度规张量g_μν所满足的场方程是一组10个二阶非线性偏微分方程.除个别例子外，这种非线性偏微分方程的解在满足初始或边界条件之后的唯一性，在数学上还没有得到证明……因此，在物理学中遇到一些非线性偏微分方程只能用实验来检验接的正确性.”另外，“在爱因斯坦场方程解中存在着解的不确定性.爱因斯坦的度规张量g_μν共有10个分量，满足上面提到的10个分量场方程.但在这10个偏微分方程中存在着Bianchi恒等式的4个偏微分关系.就是说g_μν的10个分量只满足6个独立的方程，因此它们的解是不确定的.”

Schwarzschild时空和Robertson-Walker时空的度规分别为（设光速c＝1），－dτ²＝－（1+2φ）dt²+（1+2φ）－1dr2+r2dθ2+r2sinθ2dφ2                      （1）

—dτ²＝－dt²+R²(t)[dr²/(1－kr²)+r²dθ²+r²sinθ²dφ²]　，　                   （2）

在Schwarzschild时空中只有球心这一个点是球对称的，而Robertson-Walker时空的每一个点都是球对称的．那么，诞生于Schwarzschild时空的爱因斯坦场方程适用于Robertson-Walker宇宙吗？先回顾爱因斯坦场方程的“推导”过程．

非相对论物质ρ所产生的“弱的定态场”的度规的时时分量近似为g₀₀＝－(1+2φ)， (3)，其中牛顿势φ决定于Poisson方程▽²φ＝4πGρ，而非相对论性物质的能量密度ρ～T₀₀，于是得到▽²g₀₀＝－8πGρ＝－8πGT₀₀，                                       (4)

这启发人们猜测对于一般的能动张量T_αβ，弱场方程取如下形式G_αβ＝－8πGT_αβ，(5)，G_αβ是度规和它的一阶及二阶导数的线性组合，于是由等效原理推得，支配任意强度的引力场的方程即爱因斯坦场方程为G_μν＝－8πGT_μν，　                    (6)，

其中：

G_μν＝R_μν－g_μνR/2　　，　

R＝g_λνg^μκR_λμνκ．

G_μν有五个性质：1、G_μν是一个张量；2、G_μν由总阶数为2的度规的导数组成，这样引力场方程才是均匀的；3、T_μν是对称的G_μν也是对称的；4、T_μν是守恒的G_μν也是守恒的；5、对非相对论物质产生的弱的定态场，G₀₀≈▽²g_00.——引进λ后条件2和5就难以严格满足了，λ破坏了场方程的简谐．

在Robertson-Walker度规中g₀₀＝1、φ＝０，所以有▽²g₀₀≡－2▽²φ≡0．   (7)

这就是“宇宙（在理论上）是动态的”的根源．在Robertson-Walker宇宙近似有

G₀₀＝（∂²gⁱⁱ/∂t²+▽²g₀₀）＝－8πGρ，                                (8)

若不考虑式（7）所表述的Robertson-Walker度规的特征，而是在形式上认为根据式（4）可将式(8)的中式的▽²g₀₀与右式的－8πGρ相抵消，则自然得到∂²gⁱⁱ/∂t²＝0　，      (9)，

即宇宙是静态的．▽²g₀₀＝－8πGρ是在“推导”爱因斯坦场方程时不分时空强行要求的，从这一点来看，并不是由爱因斯坦场方程推导出Robertson-Walker宇宙是动态的，而是在导出爱因斯坦场方程之前就已先验“假设”的．

Schwarzschild时空是二维最大对称的，Robertson-Walker时空是三维最大对称的，爱因斯坦宇宙是四维最大对称的．四维最大对称宇宙的能动张量必取四维最大对称形式——常数g_μν．爱因斯坦引入宇宙常数λ之后人们才提出Schwarzschild、Robertson-Walker度规形式，所以不能不顾历史条件苛求爱因斯坦考虑爱因斯坦场方程的Schwarzschild局限问题.

爱因斯坦场方程目前有哪些解，为什么场方程很难找到解？

接下来看看已知的爱因斯坦场方程解.

１、先看看什么是史瓦西解：史瓦西度规，又称史瓦西几何、史瓦西解，是卡尔·史瓦西于1915年针对广义相对论的核心方程——爱因斯坦场方程——关于球状物质分布的解.此解所对应的几何,可以是球状星球以外的时空，也可以是静止不旋转、不带电荷之黑洞（称“史瓦西黑洞”）的时空几何.任何物体被压缩成史瓦西度规将会形成黑洞.

史瓦西度规实际上是真空场方程的解析解，意思上表示其仅在引力来源物体以外的地方能够成立.也就是说对一半径R之球状体，此解仅在ｒ〉Ｒ时成立.然而，若Ｒ少于史瓦西半径ｒ｛displaystyler_｛s}｝，此时解描述的是一个黑洞.为了要描述引力来源物体内部与外部两者的引力场,史瓦西解必须跟一个适当的内部解在ｒ等于Ｒ　处相洽.

注意到Ｍ趋于０当　或Ｒ趋于无限大Ｒ,史瓦西度规近似为闵可夫斯基时空.直观上说,这样的结果是合理的：既然远离了引力来源物体,时空理应变得近乎平直.具有这样性质的度规称作是“渐进平直.

２、什么叫雷斯勒—诺德斯特洛姆度规:雷斯勒-诺德斯特洛姆度规是广义相对论中描述描述静态球对称带电物体的引力场的度规，是广义相对论的一个著名的精确解，是雷斯勒（H.Reissner）以及诺斯特朗姆首先提出的.具有这样的度规形式的黑洞称为雷斯勒-诺德斯特洛姆黑洞.

３、什么叫克尔解：广义相对论中，克尔度规或称克尔真空，描述的一旋转、球对称之质量庞大物体（例如：黑洞）周遭真空区域的时空几何.其为广义相对论的精确解.

克尔度规是史瓦西度规(1915年）的推广,后者用以描述静态不旋转、球对称且不带电荷的庞大物体周遭真空区域的时空几何.在有带电荷的情形，史瓦西度规转成雷斯勒-诺德斯特洛姆度规（1916年–1918年）.约瑟夫·冷泽和汉斯·提尔苓曾使用弱场近似方法得到过旋转轴对称球状物体度规的近似解.直到1963年方由罗伊·克尔提出精确解.但他并没有给出推导过程.1973年Schiffer等人给出了克尔度规的推导.

克尔度规的带电荷版本为克尔—纽曼度规（1965年)，以上四个相关的解可整理为如下表格：

	不旋转(J=0)	旋转（J≠0)
不带电荷（Q=0）	史瓦西度规	克尔度规
带电荷（Q≠0)	雷斯勒-诺德斯特洛姆度规	克尔-纽曼度规

４、什么叫弗里德曼—勒梅特—罗伯逊—沃尔克度规：罗伯逊-沃尔克度规是H.P.罗伯逊和沃尔克分别于1935年和1936年证明的.

按照宇宙学原理，在宇宙学尺度上天体系统最终要的特征之一是均匀性和各向同性.H.P.罗伯逊和沃尔克分别于1935年和1936年证明,适用于上述均匀性和各向同性要求的四维时空只有3种

式中R(t)为宇宙标度因子，r，theta，phi是球坐标变量，t为宇宙时，k为空间曲率.

k=1时，三维空间是球状的，总体积是有限的，其值为2R（t).

k=—1时,三维空间是双曲空间,总体积是无限的.

k=0时，三维空间是平直的，总体积也是无限的.

由于宇宙膨胀的速率是时间函数，会随宇宙的几何特性而有不同，所以宇宙的形状将会决定宇宙的终极命运.但值得留意的是，FRW度规是并不考虑暗能量的.

５.什么叫德西特宇宙：1917年，荷兰天文学家德西特继爱因斯坦之后提出的一个宇宙模型.它与爱因斯坦静态宇宙模型一样,认为宇宙的空间不随时间而变，故属静态型.但是，它又认为宇宙的物质有运动，不过物质的平均密度趋近于零.在这些条件下,求解爱因斯坦引力场方程，得德西特静态时空度规.

６.什么叫哥德尔宇宙：哥德尔的宇宙表明,宇宙的旋转以一种极端的方式扭曲了空间，以至于把时间都闭合了.哥德尔证明，这样的宇宙满足爱因斯坦场方程,但不满足牛顿引力.

哥德尔的宇宙是一个不断旋转的宇宙.这种宇宙不膨胀，所有的物质都绕着一个对称轴匀速转动.其中也包含了爱因斯坦的宇宙学常数，但不同的是，这里的宇宙学常数小于零，因此产生的是引力,和物质的引力一起抵消了转动产生的离心力.这本身就够有趣的了，但哥德尔的宇宙还有一个完全令人无法想象的性质：它允许时间旅行.哥德尔证明，时空中的一些路径形成了闭合的回路.大多数人，包括爱因斯坦，都相信这种事情应该违背了其他的物理定律，并且会导致科幻电影里经常演到的逻辑悖论（例如杀死婴儿时期的自己）.

７.什么叫托布-NUT度规：托布—NUT度规是一个爱因斯坦场方程的精确解,为广义相对论的框架下所建构出的宇宙模型.托布—NUT度规是由亚伯拉罕·哈斯克尔·托布（AbrahamHaskelTaub）发现，并由以斯拉·纽曼（EzraT.Newman）、T.昂蒂（T.Unti）和L.坦布里诺(L.Tamburino）拓展到更大的流形,其首字母缩写组成了“托布—NUT”当中的“NUT”.托布的解是爱因斯坦方程在空的空间中的一个解，表达了一种一种均匀却又各向异性的宇宙模型.

８.什么叫反反德西特空间：数学与物理学中，一个n维反德西特空间,标作AdSn为一最大对称的洛伦兹流形，具有负常数的数量曲率.其为双曲空间的洛伦兹类比,一如闵可夫斯基空间与德西特空间分别为欧几里得空间与椭圆空间的类比.反德西特空间最知名的应用是在AdS/CFT对偶.“德西特"是以威廉·德西特（1872–1934）为名，他与阿尔伯特·爱因斯坦于1920年代一同研究宇宙中的时空结构.以广义相对论的语言来说，反德西特空间为爱因斯坦场方程的最大对称真空解，其带有负的（吸引性）的宇宙常数，对应到负的真空能量密度与正压力.数学中，反德西特空间有时更广义地定义为一个具有任意度规标记(p,q)的空间.物理学的情形中，一维类时维度才有意义.由于标记习惯的不同，可写作（n−1，1)或（1,n−1).上面所有的,包括爱氏场方程推导和目前场方程著名的解,都是为我下面的推论做铺垫,也是为大家学习提供资料.总结一下你会发现,所有的解都是特殊的,这种特殊表现在“对称”，“真空"，“黑洞"，“趋于无限大，或无限小”.有的是在解的基础上再解，比如史瓦西解发展为克尔解.有的解是解的反面.这时候你会说什么？　一个词叫：“乱象丛生."正好描述这样的情况.

 

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