纪念广义相对论发表120周年学习体会之三——----等效原理浅析

爱因斯坦讲：“产生这个理论的基础是这样一种信念，即相信惯性质量同引力质量成正比是准确的自然规律，它应当在物理理论的原理中找到它自身的反映.我在以往的一些试图把引力质量归结为惯性质量的论文中，力图表达出这种信念.这种意图引导我做出这样的假说：在物理学上，（在无限小的体积中均匀的）引力场完全可以代替加速运动的参考系.显然，这个假说也可以表述如下：在一个封闭箱中的观测者，不管用什么方法也不能确定，究竟箱是静止在一个引力场中呢，还是处在没有引力场但却作加速运动（由加于箱的力所引起）的空间中呢（等效假说）.”

等效原理原来只是在均匀引力场的情况下提出的，对于一般的情形，等效原理可以作如下的表述，对于每一个无限小的世界区域（在这样一个区域中，引力随时间和空间的变化可以忽略不计），总存在一个坐标系K₀（X₁，X₂，X₃，X₄），在这个坐标系中,引力即不影响粒子的运动,每一个引力场都可以被变换掉.我们可以设想用一个自由漂浮的、充分小的匣子来作为定域坐标系K₀的物理体现,这个匣子除了受重力作用外,不受任何外力,并且在重力的作用下自由落下.显然这种＂变换掉”只所以可能是由于重力场具有这样的基本属性:它对所有的物体都赋予相同的加速度;或者换一种说法,是由于引力质量总等于惯性质量的缘故.【1】【2】广义相对论认为一切参考系都等价，这不是物理问题是纯数学问题，而且和物理无关.广义相对论空间是非线性（常规意义上的）的，所讨论的参考系也是非线性的（常规意义上的），虽然广义相对论使用的张量本身是复线性的.非线性的引力方程存在动态解，只是Einstein个人认为宇宙是静态的，他根据自己的哲学有意丢弃了动态解而已.当后人给出了这个动态解后，Einstein追悔莫及.

在牛顿力学中.惯性力和引力的表达式就并不等价；在广义相对论中.二者也不等价：前者往往是曲率为零的克里斯托弗符号.后者则是非零曲率或其克里斯托弗符号.有的学者认为.这个原理好像是“助产婆”，广义相对论诞生之后，这个“助产婆”的作用.仅仅在于要求描述引力场的黎曼几何的度量.应具有闵氏度量的符号差.著名学者迈斯纳(C．W．Misner)、索恩(K．S．TholTle)和惠勒(J．A．Wheeler)在名著《引力》一书中这样来表述这个原理：在宇宙中任何时刻、任何地点都存在局域洛伦兹时空.在这类局域洛伦兹时空中.除了引力之外的一切物理规律的形式与狭义相对论中一样.这里的局域洛伦兹时空就是局域闵氏时空、或者局域洛伦兹标架.一般认为.这是广义相对论中最重要的原理.

但是.这一等效原理没有要求局域.洛伦兹时空仍然局域地具有狭义相对论及其物理定律完整的(局域)庞加莱对称性ISO(3，1)；留下的仅是(局域)齐次洛伦兹对称性so(3，1)，没有时空平移对称性.在狭义相对论以及相应的物理理论中．时空平移对称性对于质量、能量和动量等物理量的定义和守恒．区分不同物质场在庞加莱变换下的性质．起着重要的作用.由于没有要求(局域性的)时空平移对称性，在广义相对论中，粒子和场的物理量的定义与守恒就失去了相应的对称性基础：只能把有关物理定律中出现的物理量类比于或“等效”于狭义相对论中相应的物理量.这是相当强的“工作假定”.

吴沂光先生认为：按照等效原理，这个邻近区域与引力场中一个引力被“变换掉”的无限小区域等效.借助引力场的知识得：在邻近区域内横向传播的光速会变慢，纵向的真空光速不变.如果把区域内变慢的光速当是不变，那么“沉浸”在该区域中的刚杆要被定义为横收缩.容易证明，如果引入“同时性是相对的”这个修正项，我们就可以把区域内横向变慢的光速当是不变，以便用欧氏几何法则（光尺）来确定运动杆的时空坐标.广义相对论采用黎曼几何学.黎曼几何独特假设是：两个无限接近的点可以用“间隔”表示，它的平方是坐标微分的二次齐次函数.由此得出的结论说，欧氏几何在任意无穷小区域都成立.事实上，“欧氏几何在局部惯性系中的正确性性”假定本身与广义相对性原理是紧密联系着的，正是有了广义相对性原理，这个假定才在引力场中表现出来.在引力场中，广义相对性可从下面的经验事实中找到理由.首先我们承认建立在欧氏几何上的牛顿力学在低速情况下是正确的.牛顿力学方程说：引力场中任意两点之间的引力势是个位置函数，它可以用引力对质点做功的多少来表述，其特点是这个函数的大小不会随着引力场上观察者的改变而变化.这就表明牛顿力学方程组对于引力场上任意观察者都是相同的——力学相对性原理.考虑了能量有质量后，Einstein的引力方程说：千克原器的规度会随着引力场上观察者改变而不同，因而这个函数（引力质量）的大小也会相应性的改变.但这种改变还有一个限制，即如果标准测工具的规度唯一确定，那么被测事件的数值也唯一确定.由此可见，引力场广义相对论的一些结论满足测量原则的要求，这就表明广义力学相对性原理有很高的可信度.

等效原理分为强等效原理、弱等效原理和爱因斯坦等效原理，参见Wadl的《Gravity》或者梁灿彬的《微分几何与广义相对论》，或者偏物理哲学的曹天予的《20世纪场论的概念发展》.弱等效原理认为：只要给定初始位置和初始速度，那么一个不带电的检验物体在外部引力场中的运动轨迹与它的引力质量和材料无关.Einstein在《狭义与广义相对论浅说》中说：“、、、、、、我们对相对性原理的推广隐含着惯性质量和引力质量相等这一定律的必然性，、、、、、、”.引力质量与惯性质量的相等使Einstein坚信，这是一个精确的自然规律，它应当在理论物理学中找到它自身的反映，从等效原理出发的理论探索，创立了广义相对论.中子波的相移与地球自转有关，证明了微观世界的等效原理.假设有两个物体他们的惯性质量分别为：M₁，M₂，引力质量分别为N₁，N₂，则M₁/M₂=N₁/N_2，，这就是惯性质量和引力质量等效的本质.对于同一个物体即M₁=KN₁，惯性质量与引力质量的比值为一个常数.其中万有引力的常数取决于K的大小和人们选择万有引力的力的单位.对于万有引力而言：其在空间和时间中的能量不随时间变化所以H=U，同时考虑到H在空间满足整体对称同时取球坐标，则▽H=δU/δR（注意确定物体运动加速度的不是H，而是H的变化率，即引力场），在宏观领域考虑H是随R线性变化的，再考虑牛顿的万有引力定律：用N表示引力质量F=N₁*N₂/R²，物体产生的引力场为E=N/R²，考虑一个在该场中的物体，假设他的引力质量为N₁，惯性质量为M₁，则有M₁*A=N₁*E，将上式与静电场中带电粒子的运动的动力学方程比较：QE=MA，显然N₁与Q等效；M₁=N₁.

参考文献：

【1】W.泡利著凌德洪周万生译.《相对论》上海科学技术出版社197页

【2】丁士章、王安筑等编著《简明物理学史》p12-42

【3】吴国盛著《科学的历程》北京大学出版社1001年10月第1版p197-101

【4】李艳平、申先甲主编《物理学史教程》科学出版社1002年第一版p95-101

【5】郭奕玲、沈慧君编著《物理学史》清华大学出版社1992年7月第1版p10-10