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利用非标准分析审视几个常见数学问题

一.实数集的完备性

实数基本定理以不同的方式反映了实数的一种特性，即实数的完备性（或实数的连续性）.下面介绍实数完备性定理的基本内容：

1.1确界原理：设                                               为非空数集.若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界.

1.2单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.

1.3区间套定理：若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得，即.

这一点是标准实数，在超实数集里仍然是一个区间.

1.3'区间套定理的推论：若是区间套所确定的点，则对任给的，存在，使得当时有.

1.4有限覆盖定理：设为闭区间的一个（无限）开覆盖，则从中可选出有限个开区间来覆盖.

1.5聚点定理：实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.

1.5'致密性定理（聚点定理的推论）：有界数列必含有收敛子列.

1.6柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数，使得当时有

二、算术方面

0.999999……=1在超实数集里不成立，相差一个ε；在实数集内成立，是一种高度的近似.

采用非标准分析的好处就是将有限的性质延拓到了无限.比如说，对有限位小数的映射，[0,1]区间的所有n位小数无法和整个实数轴中的所有n位小数一一对应，我们就规定这个性质在无穷位数的标准实数时仍然成立，这样在分析的最后结果总是要用有限位小数的计算机实现时，所有性质依然保存.在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有那些问题没有解决，需要我们去探索解决.

三.不定积分

1.第一类换元法（凑微分）

设f(μ)具有原函数F(μ)，则，其中可微.

2.第二类换元法：设是单调、可导的函数，并且具有原函数，则有换元公式

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式.常见的变换形式需要熟记会用.主要有以下几种：

（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号.

四、生产实践方面

在超实数集里都是平均速度，在实数集里有瞬时速度和平均速度之分.类似于假设A、B两地相距1m，质点在A、B之间的平均速度为10000m/s，在与A和B相距1光年的C点观察可以认为是瞬时速度为10000m/s.在“非标准分析”的创立过程中，鲁滨逊特别注意到了莱布尼茨关于无穷小量具有理想元素和虚构性质的论点.莱布尼兹认为：“当我们谈到有不同次的无限大和无限小的时候，就象对恒星而言，把太阳看做一个点，对地球半径而言，把普通的球看做一个点；这样，恒星的距离对于普通球的半径而言，是无限地无限大，或无限倍的无限大.”莱布尼兹在给友人的一封信中写道：“考虑这样一种无穷小量将是有用的，当寻找它们的比时，不把它们当作是零，但是只要它们和无法相比的大量一起出现，就把它们舍弃.”

我们对物理学理论美的最直接感受,是简单性和必然性完美的结合（温伯格说的）.我们之所以感觉到物理学理论,不时简单而是深奥.是因为物理学理论需要用数学语言来描述,而数学语言不是我们平时的交流工具.因此,物理学因为数学的“深奥”,而变得深奥.象只有少数内行才能听懂的高雅艺术那样,为了深奥而深奥是极其愚蠢的思想.物理学家们所追求的理论美,是寻求由简单的基本原理,赋予整体理论以刚性的面貌,出现在人们面前——这就是简单性和必然性的结合.