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从非标准分析的角度认识无穷小量基本性质

1.经典理论对于无穷小量的认识

性质1在自变量的同一变化过程中,两个无穷小量的代数和仍是无穷小量.

证明：

，

性质2有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.

证明：

，

性质3有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量.

推论：

推论1有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量.

推论2常量与无穷小的乘积是无穷小.

推论3有限个无穷小量的乘积也是无穷小量.

推论4无穷小以极限不为零的变量除量，其商仍是无穷小.

说明：由于x为无穷小量，从非标准分析的角度就是x=λε（λ为有限实数），因此上面的结论证明更加简洁，过程从略。

2.无限个无穷小量的代数和

无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量，在某个角度上其实是一个以无穷小量为项的无穷级数，根据无穷级数的性质可以知道无限个无穷小量的代数和不一定收敛，即使收敛也不一定为无穷小量.不烦举例说明：

例1为时的无穷小量，但是发散.

说明无限个无穷小量代数和不一定收敛.

例2设，则对于每个为时的无穷小量；，故不再是时的无穷小量.

说明无限个无穷小量代数和即使收敛，也未必是无穷小量.

综上：无限个无穷小量的代数和不一定收敛，即使收敛也不一定为无穷小量.

无限个无穷小量的代数和为无穷小量的充分条件：

如果都是无穷小量且关于一致收敛，则是无穷小量.

证明：，，即

3.无限个无穷小量的积

无限个无穷小量的积不一定收敛，即使收敛也不一定为无穷小量.

定义：设是无穷小序列，即对（为自然数集）均有，记若对任意固定的，有，则称无穷乘积收敛于，或者.

例3设

令

（1）若此时

即：无限个无穷小量的乘积可以是无穷大量.

（2）若此时不存在.

（3）若此时

即：无限个无穷小量乘积可以是事先给定的任意常数.

例4设

则显然为时的无穷小量.

下证，对每个均不收敛：

固定存在正整数使得时，有

故

由于不存在，故不收敛.

说明无限个无穷小量的积不一定收敛.

例5设对于，

则对每个均为时的无穷小量.下面证明

从上式可知，

显然，其无穷乘积不再是无穷小量.

说明了无限个无穷小量的积即使收敛，也不一定是无穷小量.

1.充分条件：

如果都是无穷小量且关于一致收敛，则是无穷小量.

证明方法同无限个无穷小量代数和.

2．充要条件

I）无限个无穷小数列为无穷小量的充要条件

定理1设是无穷小序列，即对（为自然数集）均有

记他们乘积为若对任意固定的，存在，则

证明：

（1）       必要性：，从而有

故

取

（2）       充分性：

从而上式中令我们得到由的任意性知.

利用定理1,容易得到：

推论1设是无穷小序列，即对（为自然数集）均有

若他们乘积为有意义，即对任意，存在.若存在自然数，当

时，有，则是一个无穷小数列.

证明：

取

由定理1可知，即是一个无穷小数列.

推论2设是无穷小序列，即对（为自然数集）均有

若他们乘积为有意义，即对任意，存在.若存在自然数，当时，有，则是一个无穷小数列.

证明方法同推论1.

II）无限个无穷小函数列乘积为无穷小量充要条件

设函数列在点的某领域内连续，且即为无穷小量.设

若存在，则称有意义，记作在连续且那么讨论在是否无穷小量的问题，即

实质上是讨论连续函数列的极限函数是否在点连续的问题，由数学分析给出的充分条件，即要求在的某领域内一致收敛于.因此有：

定理2设函数列在点的某领域内连续，且即为无穷小量.设

若在的某领域内一致收敛于.则当时，为无穷小量

若存在，则称有意义，记作在连续且那么讨论在是否无穷小量的问题，即

“逻辑简单性”,按照爱因斯坦的看法,即是指一个理论体系所包含的彼此独立的假设或公理最少.在建立相对论逻辑体系的过程中,“逻辑简单性”发挥了重要的作用,以后就成为创建科学理论的指导原理.为什么呢?因为自然界本身是“统一的”、“简单的”、“和谐的”,而反映自然规律的理论体系与客观存在之间存在着主客观的对应关系,所以要求它的逻辑在基础上也必须是简单的.正如爱因斯坦所说:“逻辑简单的东西,当然不一定就是物理上真实的东西.但是,物理上真实的东西一定是逻辑上简单的东西.”同时,“逻辑简单性”要求一个理论体系在结构上必须是"和谐的"、"对称的"、"自然的",要求理论体系的基础的“简单性”与结构上的“和谐性”必须是统一的、等价的.