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概率论与非标准分析

概率论是建立在测度论的基础上，不可测集给概率论带来的麻烦是相当大的.本来概率论的公理化描述者希望这么描述概率测度：“首先有一个集合叫做样本空间Ω，其所有子集构成事件集F=2^Ω，在此事件集上定义映射或者集函数P(A):F→R，使得每给一个集合A∈F，有一个唯一的非负实数P(A)与之对应，满足可列可加性、P(Ω)=1的性质.”这对于其它学科的要应用概率论的研究者使用起来是方便的.如果样本空间就是整个实数轴，从观念上讲对于实数轴上的任何集合A，都能够有一个确定的概率与之对应，通过反复试验，按大数定律的原则，可以统计实验结果落在A上的概率.但数学家宣布不是所有的集合都可测，存在着这样的集合，即使反复试验，也无法统计出落在这样的集合上的概率.这就逼得概率论的公理化体系描写成这样：“对于样本空间，有一个事件集F=P(Ω)，满足在其上的对可数个并交补运算封闭，在此事件集上定义映射或者集函数P(A):F→R，使得每给一个集合A∈F，有一个唯一的非负实数P(A)与之对应，满足可列可加性、P(Ω)=1的性质.”赫尔曼外尔认为数学是无穷的科学.

不亲自检查桥梁的每一部分的坚固性就不过桥的旅行者是不可能走远的.甚至在数学中有些事情也要冒险.单点的测度不为0而为无穷小数θ，对于许多事情的解释也非常简洁.从非标准分析的观点，在概率论中，如果一个事件概率为0，就是不可能事件，概率为1的事件为必然事件.这在概率的设计初衷就是这样，希望概率为0代表概率最低，即不可能.而现在流行的概率论的麻烦也就是原来标准实数的麻烦，即认为在连续型随机变量中，概率为0的事件为可能事件，这在概率论的教学中一直是非常容易使学生们困惑的难点.而新体系则认为对于连续型随机变量X，假设其概率密度函数为f(x)，则概率P(X=x₀)=f(x₀)θ，是一个不为0的无穷小正数，因此取单点的事件并非不可能事件，其发生概率同概率密度在此点的值成正比，这也是合乎道理的.以往的概率论对不可数可加性根本就不敢讨论，因为连续型随机变量被认为取一个区间中每一个单点的概率为0，而落在整个区间的概率却不为0.而新体系则说明整个区间的概率是由许多无穷小的概率积累而形成，并非由一系列0积累形成.在几何概型中，质点落到某一个确定点的概率为0在实数集里成立，在超实数集里概率不等于0，只能用非标准实数表达.概率论的公理化体系也将变得简单，因为只要认为样本空间的所有子集都有概率，这些概率都满足可加性，不仅可数可加性，甚至不可数可加性.

关于所谓“简单性问题”的重要性几乎没有一致意见.Weyl在不久前说：“简单性问题对于自然科学的认识论是最重要的”.然而，近来对于这个问题的兴趣低落了；也许是因为似乎很少有机会来解释这问题，特别是在Weyl进行透彻的分析之后.

直到最近，简单性观念一直在无批判地使用，仿佛简单性是什么，为什么它应该是有价值的，是很明显的.不少科学哲学家在他们的理论里给予简单性概念一个关键性的重要地位，甚至没有注意到它引起的困难，例如Mach，Kirchhoff，Avenarius的追随者试图用“最简单的描述”这一观念来代替因果解释的观念.没有形容词“最简单的”或者类似的词，这个学说就什么也没有说.当应该解释为什么我们认为用理论对世界进行的描述，优于用单称陈述对世界进行的描述时，就似乎预先假定，理论比单称陈述更简单.然而很少有人曾经尝试解释过，为什么理论应该是更简单的，或者更确切地说，简单性是什么意思.如果我们假定，使用理论是由于简单性，那么显然，我们应该使用最简单的理论.Poincare（他认为理论的选择是一个约定的问题）就是这样来表述他的理论选择原理的：他选择可能的约定中最简单的.

“简单性”这个词用于很多不同的意义.例如Schrodinger理论在方法论意义上具有很大的简单性，但是在另外一种意义上，完全可以说它是“复杂的”.我们可以说，一个问题的解决不是简单的而是困难的，或者说，一个描述或一个说明不是简单的而是难以理解的.