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外微分是实数量子化的一种表现形式

尼采认为：如果没有数所制造的关于宇宙的永恒的仿造品，则人类将不能继续生存……

一微分形式及其外积

我们知道,一个可微函数的全微分为.

它是的线性组合,一个很自然的想法是将看作一个线性空间的基.

设是上的区域,记,()为上连续可微函数全体.将看作一组基,其线性组合

称为一次微分形式,简称1-形式.1-形式的全体记为(或).

如果对中的元素定义加法、数乘、零元和负元等,就可以使成为一个上的线性空间.对于任意:,

,

定义和()为

,

,

进一步定义中的零元为,

且定义负元为

显然成为一个上的线性空间.

为了得到二次微分形式,我们先引入向量的外积这个概念.

设,为平面上两个线性无关的向量,我们将行列式称为向量与的外积,记为,即

.

平面上的向量的外积的讨论可以推广到上去.设

定义他们的外积为

.

它是由所张成的平行面体的有向体积.而且这种体积满足反对称性和分配律.

类似于向量的外积,规定.

因此共有个有序元

以这些有序元为基就可以构造一个线性空间.其中的元素称为二次微分形式.简称2-形式.于是中的元素可以表示为.

这种形式称为2-形式的标准形式.

一般地,在中任意选取个组成有序元,记为,

这里是从集合中选取的任意个整数.规定

.

以这些有序元为基构造一个线性空间.其中的元素称为次微分形式.简称-形式.于是一般k-形式就可以表示为

.

这种形式称为形式的标准形式.

显然,当时,总有,因此.

上的连续可微函数称为形式,它们的全体记为,它是一个线性空间,函数是它的一个基.

现在把中的理解为一种运算.对于任意:

,

,

定义与的外积为

它是中的元素.

下面把这样的外积定义推广到任意的和上去.若记为线性空间之和,即有,于是是一个(因)维的线性空间,因此中的元素的一般形式为

.

记,.则

它是形式.对一般形式和形式,定义和的外积为

它是形式.对于形式,我们补充定义

二外微分的基本概念

设为区域,上的可微函数的全微分为

这可以理解为:一个-形式作了微分运算后成为了-形式.

现在将微分运算推广到上去.对中的任意一个-形式.

,

定义

同时,对空间上的任意一个元素

定义.这样,微分运算就是线性的,即,,其中为常数.这样的微分运算称为外微分.显然,.

性质1设为-形式,为-形式,则.

证明(留作练习).

设,定义.在下面的讨论中,我们假设微分形式的系数都具有二阶连续偏导数.

例13.34设为-形式,证明

证明由于具有二阶连续偏导数,因此.所以

.

性质2对任意,有

证明由于的线性性,只要证明

这种情形即可.这时,

由于具有二阶连续偏导数,因此.所以

.

因此再由性质1可得

.

二外微分的应用

首先看Green公式

其中闭区域的边界由分段光滑的曲线L所围成.若将看成有向面积元素,那么如果将它看成是正面积元素的话,上式就可以表示为

对于-形式,则由外微分的定义可得

.

于是有下式成立.

再看Stokes公式

其中为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则.对于-形式,由外微分的定义可得

于是Stokes公式则变为.

同样地,对于Gauss公式

其中空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面所围成.如果我们将有向体积元素看成是正体积元素的话,它就可以表示为

对于-形式,我们有

.

于是Gauss公式则变为.

这样,Green公式、Gauss公式和Stokes公式就可以统一地写成如下形式：.

这个式子统称为Stokes公式.它说明了,高次的微分形式在给定区域上的积分等于低一次的微分形式在低一维的区域边界上的积分.

一、微分的外积运算　

微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分，，，其外积运算用表示，如与的外积记为，它们满足以下运算法则：

（1），（是实数）；

（2）外积运算对加法有分配律，如；

（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如；

（4）任意一个微分与自身的外积等于0，如；

（5）结合律，；

，，在几何上可以理解为有向长度微元.在几何上可以理解为有向面积微元，在几何上可以理解为有向体积微元.因此它们与，的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的.把微分的外积运算与向量的外积运算相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似的.而在几何上是以为边的平行四边形的面积，对应于

，，

二、外微分式及其外微分式的外积运算　　　

设都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式　　

（1）　　

（2）　

（3）　

（4）　　

例阶外微分式与阶外微分式的外积是阶外微分式，当时，外积为0.　　

证：两个一阶外微分式的外积　

一阶外微分式与二阶外微分式的外积　　　

其余显然成立.　

三、多变量积分中的积分微元代换公式　　

利用外积运算，可以推导多变量积分变量代换公式中微元的代换公式.　

（1）二重积分中极坐标变换下的面积微元　

在极坐标变换，下，有公式　

其中，面积微元有关系式，自然它不是通过的普通乘积得到的，但它可以用的外积运算得到：　

故

（2）二重积分一般变量代换中的面积微元　　

在变换，下，有公式

其中，面积微元有关系式：

同样，它符合的外微分运算.事实上，

故　　

（3）三重积分变量代换中的体积微元　

完全类似二重积分情形，（略）.　

（4）第二型曲面积分计算公式　　　

设曲面方程为，，　　　

则有公式

其中符号视的方向而定.注意到这里都是有向的，而等式右边的是无向的，利用二重积分变量代换中已证得的面积微元关系，有　　

，，　　　

取绝对值后，立即得到上述公式.

（5）第一型曲面积分中的面积微元　

设曲面的方程为，，则有　　　

其中，，.　　

因为，，　　

而分别是在三坐标面上的投影，则　　　

特别，若曲面方程为，，则　

故

四、各阶外微分式的外微分运算　　　

在三维空间中，对于系数是可微函数的各阶外微分式（1）~（4），定义其外微分：　

注1对基本外微分式的外微分，规定　

在这个规定下，外微分算子的作用类似与普通微分算子，即对每一项进行运算，在每一项中又分别对每个因子进行运算，其余因子不动.所不同的是外微分算子在运算后进行外积运算，而普通微分算子在运算后进行普通乘积.例如　　　

注2零阶外微分式的外微分就是普通的微分.　　

性质：阶外微分式的外微分是阶外微分式，三阶外微分式的外微分等于0，且它们与场论中的三度（梯度，旋度，散度）有如下联系：　　

（1）　

­（2）　

（3）　

证（1）显然成立.　　

（2）　　　

（3）　　

五、牛顿-莱布尼兹公式，斯托克斯公式，格林公式，高斯公式的统一描述　　

（1）   牛顿-莱布尼兹公式，

其中是在上的一个原函数.

若记，则，则牛顿-莱布尼兹公式可写为　

（2）      斯托克斯公式　　

或　　　

其中是以分段光滑曲线为边界的光滑曲面，与的方向遵从右手法则.　

在这个公式中，由于与都是有向的，故是有向长度微元，是有向面积微元，若记，则　

故斯托克斯公式可写为　　

格林公式作为斯托克斯公式的特殊情形，自然也具有上述形式.　　　

（3）      高斯公式　　

或　　　

其中空间闭区域以分片光滑曲面为边界，曲面取外侧.　

在这个公式中，由于是有向的，故也可看作有向的.若记　

则　

故高斯公式可写为　

综合上述，可以将上述各公式统一为　

其中，是维区域，而是的边界（因而是维的），是阶外微分（因而是阶外微分）.　　　　

六、庞加莱（Poincare)引理及其逆　　　

性质1（庞加莱（Poincare)引理）设是三维空间中任意外微分式，其系数有二阶连续偏导数，则　

证：因为，　　　

（1）是零阶外微分式　　　

（2）是一阶外微分式　

（3）是二阶外微分式，则是三阶外微分式，从而.　　　

（4）是三阶外微分式，则，故.　　

性质2（庞加莱引理之逆）设是三维空间中的阶外微分式，其系数有一阶连续偏导数，且，则存在一个阶外微分式，使得.　　　

证（1）设是一阶外微分式　　　

，故　　　

因为是无旋场是梯度场　　

存在零阶外微分式，使得　　

于是　

（2）设是二阶外微分式，且　　　

故　

因为是无源场是管量场　　

存在矢量，使得　　　

记，则是一阶外微分式，且　

.　　

（3）设是三阶外微分式，且　

令，则.　

从证明过程可见，庞加莱引理中，当是零阶外微分式时，等价于场论中的；而当是一阶外微分式时，等价于场论中的.到勘