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从非标准分析的观点认识几个几何问题

玻尔的对应原理在经典力学和量子力学之间建构起了一种独特的对应性，这一物理学原理为重构逻辑学的方法论提供了一种启发式的形式类比.现从逻辑方法论的观点上把对应原理重新概括为经典逻辑是非经典逻辑的前身，非经典逻辑将构成更为普遍的逻辑形式，经典逻辑作为非经典逻辑的极限形式在局部情况下仍保持自身的意义.展开来讲，对应原理的实质性内容包括以下三个方面非经典逻辑与经典逻辑之间存在重大差异扩展型逻辑，甚至于“根本对立”异常型逻辑.非经典逻辑与经典逻辑之间存在“渐近一致关系”，即非经典公式或定理在某种极限条件下将自动退化、趋近、过渡到经典逻辑对应的公式或定理.反过来，这种渐近一致关系可以作为猜想未知非经典公式或定理的依据.在“合理改写形式”下，非经典逻辑与经典逻辑之间可以找到更一般的“对应性处理方式”.因此可以自然地预料，经典逻辑的基本概念和公式在失去普遍有效性之后，仍然是定义和构造非经典逻辑的未知概念和公式的有力的辅助框架.

第一条讲的是，作为先行理论的经典逻辑与待创的后继理论—非经典逻辑之间的区别.在逻辑哲学中，非经典逻辑被划分为两种类型.（a）扩展逻辑，它不触动经典逻辑的基本公理和规则，但增添新的算子以及相应的公理和规则.（b）异常逻辑，使用与经典逻辑相近的词汇，却从根本上修改公理和规则.第一类（扩展型）非经典逻辑与经典逻辑存在重大差异.例如模态逻辑增添了“必然”和“可能”等算子；道义逻辑增添了“应该”“允许”和“禁止”等算子第二类异常型非经典逻辑则与经典逻辑存在“根本对立性”.如直觉主义逻辑废弃了排中律，次协调逻辑修改了矛盾律，模糊逻辑以“亦此亦彼”的“中介过渡性”代替了真假判断的“非此即彼性”.

第二条是说待创的非经典的后继逻辑理论对经典逻辑仍有继承性，而且这种继承性往往是可以形式刻划或者定量化的某种一致关系.这种渐近一致关系是基于先行理论创造后继理论的一个相对的立足点和出发点.

第三条讲的是对应性处理，即如何充分利用先行逻辑理论作辅助框架来发现和发展非常规的后继逻辑理论.关键在于，不仅要注意“对应性”，而且更要注意进行转译或“合理改写”.借用尼尔斯·玻尔的话来说，对应原理表现着一种倾向，即当系统地发展非经典理论按我们指的是非经典逻辑，玻尔原先说的则是量子理论时，要在一种合理改写的形式下利用经典理论的一切特征，这种改写、转译应该适用所用公设和经典理论之间的根本对立性.

几何学是从某些象“平面”、“点”和“直线”之类的概念出发的，我们可以有大体上是确定的观念和这些要领相联系；同时，几何学还从一些简单的命题（公理）出发，由于这些观念，我们倾向于把这些简单的命题当作“真理”接受下来.然后，根据我们自己感到不得不认为是正当的一种逻辑推理过程，阐明其余的命题是这些公理的推论，也就是说这些命题已得到证明.于是，只要一个命题是以公认的方法从公理中推导出来的，这个命题就是正确的（就是“真实的”）.这样，各个几何命题是否“真实”的问题就归结为公理是否“真实”的问题.可是人们早就知道，上述最后一个问题不仅是用几何学的方法无法解答的，而且这个问题本身就是完全没有意义的.我们不能问“过两点只有一直线”是否真实.我们只能说，欧几里得几何学研究的是称之为“直线”的东西，它说明每一直线具有由该直线上的两点来唯一地确定的性质.“真实”这一概念有由该直线上的两点来唯一地确定的性质.“真实”这一概念与纯几何这的论点是不相符的，因为“真实”一词我们在习惯上总是指与一个“实在的”客体相当的意思；然而几何学并不涉及其中所包含的观念与经验客体之间的关系，而只是涉及这些观念本身之间的逻辑联系.

一、经典数学理论的不和谐

辩证法的精髓主要是对立统一、量变质变、否定之否定等内容，通常被认为是与机械观对立的，而逻辑特别是数理逻辑本质上就是研究推理等人类思维活动的确定规律的，它实际上离不开一系列的机械步骤及规则，因此辩证与逻辑是一对含有对立意味的概念.

当代著名的数学家阿蒂亚在1976年任伦敦数学会主席时的演说中，有这样几句话:“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去，就必须不断努力把它们简化和统一.”“过去曾经使成年人困惑的问题，在以后的年代里，连孩子们都能容易地理解.”作为人类精神的最高的成果，微积分曾使成年人中的数学家都感到困惑.我们希望并且相信，在不远的将来，随着新思想和新方法的普及和应用，微积分将会变成多数孩子都容易理解的一门数学课程.美国著名的数学史权威和数学家莫里斯·克莱因指出：“1930年以后［西方数学］的全部发展还留下来两个没有解决的大问题：去证明不加限制的经典分析与集合论的相容性，以及在严格直观的［几何］根基上去［重新］建立数学，或者去确定这种途径的限度.在这两个问题中，困难的根源都在于无穷集合和无限程序中所用到的无限（infinity）.这个概念，即使对于希腊人也已经在无理数上造成了问题，而且他们在穷竭法中躲开它.从那以后，无限这个概念一直是争论的题目，并使外尔（Weyl）说道，数学是无限的科学.”关于经典分析与集合论的相容性，“佩莱蒂耶在他的《欧几里得几何原本的证明》一书中，批评了欧几里得使用叠合法去证明全等方面的定理，甚至哲学家叔本华在1844年也说，他感到很奇怪的是，数学家们攻击欧几里得的平行公设，而不去攻击重合的图形是相等的这一条公理.他论述说，重合的图形自然是相等或恒等的，因而无需什么公理；或者，重合完全是一种经验性质的事情，不属于纯直觉知识，而是属于外部感官经验.另外，这条公理预先假设图形的可移动性；但是，在空间中能够移动的是物质，因此超出了欧几里得几何的范围.十九世纪已普遍认识到：叠合法或者是建立在一些未明确说明的公理的基础上，或者必须用另一种探讨全等的方法来代替.”

不幸的是，西方数学界至今仍没有在叠合法上把物质自身的可移动性几何化，即至今仍没有解决几何图形的可移动性在其数学公理上不相容（不统一）的问题.其数学公理并非统一于物质，因此也就当然不能够严格定量地描述物质不断分割最终残馀的几何最小成分构成的量子宇宙

如果离开标准模型，单独研究非标准模型，我们将会遇到在标准分析中遇到的同样问题，如dy/dx的解释问题.另一方面，我们总是要从非标准分析回归到标准分析，才能解决我们所面临的实际问题，也就是说，必须从微观回归到宏观上来.在非标准实数模型中，无限大、无限小（作为常量）实际上一个“离散”工具，一个非常实用的离散工具.因此非标准分析可以看作是一个离散方法，而标准分析是一个连续方法.

笛卡儿说过：“用心智的全部力量来选择我们应遵循的道路.异常抽象的问题，必须讨论得异常清楚.我决心放弃那个仅仅是抽象的几何.这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练思想的问题.我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何.”在有限无限问题上数学基础还存在着内在的不可调和的矛盾，如：线段是由点构成，而“点”没有测度，而“线段”则存在测度；没有测度的点构成有测度的线段，这显然是矛盾的、荒唐的.高斯认为：数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深.数学是科学之王，而数论是数学的女王.如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现.有时候，你一开始未能得到一个最简单，最美妙的证明，但正是这样的证明才能深入到高等算术真理的奇妙联系中去.这是我们继续研究的动力，并且最能使我们有所发现.

二、非标准分析的新视角

1.点的长度

点是有长度的，不过由于长度太小了，不能用实数来表示，只能用非标准实数表示，记为ε.同理：线是宽度ε的，面是厚度ε的.进一步可以得出点线面都有面积和体积，只不过不能实数表示，只能用非标准实数表示.

由于点由长度ε，因此不难理解定积分的几何意义.由于面是有厚度ε，因此不难理解平面几何中平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理是等价的、立体几何中的祖暅原理（因为此时两个几何体的任何一个截面的体积相等，所以两个几何体的体积相等）.进一步可以得出圆的面积公式S=πr²对r求导得到圆的周长公式C=2πr，圆的周长公式C=2πr对半径r进行定积分运算得到圆的面积公式S=πr²；球的体积公式V=πr³对r求导得到球的表面积公式S=4πr²，球的表面积公式S=4πr²对半径r进行定积分运算得到球的体积公式V=πr³.哈代认为：数学家通常是先通过直觉来发现一个定理；这个结果对于他首先是似然的，然后他再着手去制造一个证明.A·埃博曾经讲过：“数学不可比拟的永久性和万能性及他对时间和文化背景的独立行是其本质的直接后果.

平行线分线段成比例定理的一个经典证明——

2.渐近线与切线

在实数集里曲线与它的渐近线没有公共点，在超实数集里有一个公共的分点，在实数集里渐近线与切线不同，但是在超实数集里渐近线是一种特殊的切线.

3.切线与割线

经典的微积分认为曲线的切线是割线的极限情形，二次函数y=x²在原点处做曲线的割线，到极限位置时y=0时为切线，可是有些情形难以理解，例如：对于y=|x|而言，y=a（当a不等于0）是割线，为何y=0不是切线；三次函数y=x³在原点处割线与曲线有三个公共点，切线y=0与曲线只有一个公共点；y=，y=0是否依然是切线？此时直线y=0与函数的图像公共点有无穷多个.如何理解从割线变化到切线，中间有无穷多个位置只有一个公共点.笔者认为从超实数集的观点看曲线可以有若干条折线段组成，折线段的长度就是点的长度，曲线的切线的斜率就是这点折线段的斜率，这样容易理解对于y=|x|而言，y=a（当a不等于0）是割线，y=0是切线；三次函数y=x³在原点处割线与曲线有三个公共点，切线y=0与曲线只有一个公共点；y=，y=0依然是切线，直线y=0与函数的图像公共点有无穷多个，此时是无穷多个点的切线重合.

A·N·怀德海说过：“这是一个可靠的规律，当数学或哲学著作的作者以模糊深奥的话写作时，他是在胡说八道.”平行线又可相交又不可相交，有辩证意味，为矛盾命题.在欧氏几何公理下不可相交，在非欧几何公理下可以相交.这实际是一个对平行线的定义问题.在欧氏几何中不相交的是平行线，在非欧几何中相交的是平行线.这里，“公理”即“条件”，不同的条件、公理、前提、原则，可得到不同甚至表面矛盾的命题（指隐含这些前提条件命题时）.

饶毅教授说，所谓Occam剃刀，是以最简单的理论解释实验的结果和观察到的现象.如果简单理论可以，就不用复杂理论来解释.如果用复杂理论来解释，那么复杂加复杂可以叠很多层，就很难讨论和验证.以简单理论作为基本步骤，科学虽然前进很慢，但较扎实.Occam剃刀是经验模式，并无标准公式.比如，是用简单的理论尽量解释很多的现象，还是对于所解释的现象要有所局限、有所选择？但科学研究过程中，大家都遵循这个规则.