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重新认识洛必达法则定理

爱因斯坦把逻辑简单性作为建构科学理论的方法论原则，也作为科学创造的一个美学思想.因为简单性是秩序感的表现，它使人易于把握事物的特征，具有重大的审美价值.爱因斯坦在创立相对论的过程中就十分强调逻辑简单性.

一、洛必达法则定理

定理1：若函数与函数满足下列条件：

（1）在的某去心邻域内可导，且

（2），；

（3）

则（包括A为无穷大的情形）

定理2：若函数和满足下列条件

（1）在的某去心邻域内可导，且

（2），；（3）

则（包括A为无穷大的情形）

此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：

.

只有在分子、分母同时趋于零或者同时趋于无穷大时，才能使用洛必达法则.连续多次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用，若是检查结果满足法则使用条件，才可连续使用洛必达法则，直到求出函数极限或者为无穷大，否则就会得出错误的结果.

求

分析：根据洛必达法则使用条件，此式为型，所以可以使用洛必达法则，但是，结果所得非不定式，所以只能使用一次洛必达法则，而不能再进行第二次.

解：

事实上，

二、洛必达法则定理经典证明

证明：作辅助函数，

于是函数F(x)及G(x)在[）连续，在可导，并且今对内任意一点，利用柯西中值定理得

由的定义，上式即

所以当时（这时显然有），对上式两端取极限，即

证毕.

关于定理二的证明方法也同定理1类似，这里就不点出.当然，还有其他不同的证明方法.

三、洛必达法则定理非标准分析证明

定理1证明：因为，，所以f（a+dx）=df，g（a+dx）=dg；

因为，所以.

所以

玻尔认为：“有两种真理，一种真理是极简单明了的论断，简单明了到与之对立的论断昭然错误的程度.相反，另一种真理，即所谓“深奥的真理”则是这样一些论断，即与之对立的论断也包含着深奥的真理.”现代科学的巨大宏伟的大厦，或许是人类心灵的最伟大的胜利.但是它的起源、发展和成就的故事却是历史当中人们知道得最少的部分之一，而且我们也很难在一般文献中找到它的踪迹.玻尔的对应原理在某种意义上应该看作是一种物理学思想，它表明在原子范围内的微观现象和宏观现象，各自遵循本范围的规律，但微观范围内的规律和宏观范围内的规律间存在对应关系，当把微观范围内的规律延伸到宏观范围时，应与宏观规律一致.