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导数概念的一点儿扩充

摘要：本文从数学美的角度把不定积分定义为一元函数的负一阶导数，将Jacobi行列式定义为多元函数组的导数，并指明了雅可比行列式的几何意义，最后举例说明了其应用.

关键词：导数；扩充；数学美；Jacobi行列式；不定积分

美学观念在自然科学的发展中起的作用是不可替代的.早在我国春秋时期，庄子则有“原天地之美，而达万物之理”的言句.而在古代西方，毕达哥拉斯学派则把对自然奥秘的探索与对自然美的追求统一起来；把数的和谐性作为科学解释的最高原则.自那时以来，寻求自然界的美成为了推动自然科学发展的动力.十七世纪以后，近代自然科学中兴起的经验主义思潮，曾一度造成了科学与美学在某种意义上的分离.进入二十世纪以来，以相对论和量子力学为代表的近代物理学革命的兴起却在更大的深度上推动了科学美学的发展.众多的物理学家从各自的科学创造实践中感受到物理理论的审美价值；在美学原则的指引下，他们作出了杰出的工作.美学因素不仅渗透到科学创造的原动力中，而且也渗透到物理理论体系的构建与表述中.美学原则潜在地影响着科学成果的内容与形式；人们甚至把美学价值的大小看做是评价一个科学理论成就大小的重要标准.把现存理论推广或移植到其它结构上.例如将微积分由有限维空间推广到无限维空间，将微积分用到曲面而得到连络理论等便是.当Ricci,Christofel等几何学家在曲面上研究与座标的选取无关的连络理论时，他们很难想像到它在数十年后的Yang-Mills场论中的重要性.

一元函数的导数反映了函数对自变量的变化率，在数学分析中有一些概念与导数不但存在着密切联系，而且具有许多相似的性质.如果把它们也定义为导数，就可以使数学知识之间具有一种和谐、对称的美感，而且有助于进一步认识导数以及这些概念的本质.

㈠  不定积分定义为一元函数的负一阶导数

不定积分是求一个函数的原函数，不定积分和导数互为逆运算，Newton——莱布尼兹公式搭起了微分学与积分学之间的一座重要的桥梁.不定积分与导数既然互为逆运算，那么它们能否统一为一种运算呢？数学中许多互逆的运算都可以统一为一种运算，例如加法与减法、乘法与除法、乘方与开方，因此笔者认为不定积分与导数既然互为逆运算，应当可以统一为一种运算，只需把不定积分定义为负一阶导数.不定积分定义为负导数,差一个任意常数,导数不惟一，原来认为导数唯一的观点只需稍微改变一下即可.

定义1：定义f⁽⁰⁾(x)=f(x)，式中f⁽⁰⁾(x)为f(x)的0阶导数.在区间X上给出函数f(x)，若存在F（x）使得F′（x）=f(x)，x∈X，或dF(x)=f(x)dx，x∈X，则称F(x)是f(x)的一个负一阶导数，f(x)的所有负一阶导数，记作f^（-1）(x)或∫f(x)dx.有了0阶、1阶和—1阶导数，就可由递推而得到任意n阶（含负数）的导数.

定理：设F(x)是f(x)的一个负一阶导数，则f^（-1）(x)=F(x)+C.证明略.

一般情况，函数f(x)的-n+1导数存在负一阶导数，称之为函数f(x)的-n阶导数，记为f^（-n）(x)，即〔f^（-n+1）(x)〕^(-1)=f^（-n）(x)+C.

根据定义可知，一个函数f(x)的负一阶导数即为它的不定积分，依然可以用∫f(x)dx表示，而且还可以表示n次不定积分形式.

在函数的各阶导数都存在的条件下，把导数运算与积分运算统一起来，可以看出数学知识之间具有一种和谐、对称和美感，函数的导数的阶数定义在整数集上.这样定义不仅仅是一种形式改变，而且可以对一些数学知识认识更加深刻，譬如微分方程与积分方程可以统一在一起，因为积分方程可以认为是负一阶微分方程，从而为寻找二者相似性与统一性搭起了一座桥梁.

∵∫vdu=uv-∫udv.∴（u′v）^(-1)=uv—（v′u）^(-1),∴uv=(u′v)^(-1)+(v′u)^(-1)∴(uv)′=u′v+v′u.两个函数乘积的导数公式也适用于负一阶导数，或者说分部积分公式与两个函数乘积的导数公式是一致的.这样计算方法的一切固定的差别都消失了，一切都可以用相反的形式表示出来.数学中任何一种新理论，不论它的特性或细节如何，当把它应用于普遍性较小的理论所适用的情况时，这种新理论必定可化为与它相对应的已牢固确立的旧理论.库默说过：“一种奇特的美统治着数学王国，这种美不像艺术之美与自然之美那么相类似，但她深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏，与艺术之美是十分相象的.”

㈡  Jacobi行列式定义为函数组的导数

1.  雅可比行列式的定义：

雅可比行列式不同于其他行列式，它的构成元素是偏微分，设独立变量的函数x，y有：

用J(x，y)表示x，y的行列式,即：

则称为雅可比行列式.

雅可比行列式的另一种表示形式为：

2.雅可比行列式的性质

性质1.

性质2.

性质3.

性质4设有，则

.

证明：可看作是x，y的隐函数，则（2-1）

故

由复合函数求导公式得：（2-2）

为了求出（2-2）式中的对（2-1）式求的偏导：

（2-3）

由（2-3）得：

将所求得的代入（2-3）式得：

同理有：

故：

.

性质5将雅可比行列式应用于全微分关系式：

中，有：

.

证明：对全微分式两边同时除以，有

由性质4有：

故：

由于：，=

故性质5又可以写成：.

多元函数只有偏导数，但是多元函数的Jacobi行列式与一元函数的导数存在着极其相似的特点，因此笔者从数学美的角度尝试着拓广导数概念，将Jacobi行列式定义为函数组的导数.这样定义之后，反函数组存在的判定定理与一元函数的反函数存在定理、Jacobi行列式的锁链法则与一元函数的锁链法则、反函数组的Jacobi行列式与一元函数的反函数的求导公式、多重积分的变量替换公式与定积分的变量替换公式便一致起来.

一元函数的导数表示函数对自变量的变化率，可以认为是位移的变化率，可以假设二元函数组的Jacobi行列式表示一个坐标系到另一个坐标系的面矢的变化率，三元函数组的Jacobi行列式表示一个坐标系到另一个坐标系的体矢的变化率，、、、、、、.牛顿将：“我们在这世界上所看到的这一切秩序，这一切美，又是从哪里来的呢？”

在原有的微积分中,面积与体积永远是非负的.例如:若可积函数在中的区域上定义,变换,将区域变为,则有变换公式

(2-4)

在这个公式中,Jacobi行列式取绝对值就是因为面积元素永远是非负的.如果这可正、可负,那么(2-4)式中的Jacobi行列式的绝对值就不必要取了,但这时候,与必须定向.

有了定向的概念,就有可能定义外微分,外微分形式.而这些概念的产生,使微积分的面貌发生了根本性的转变.例如:微积分中的Green公式、Stokes公式与Gauss公式可以用外微分形式统一成为一个公式——外微分形式的Stokes公式

(2-5)

这里为外微分形式,为外导数,为区域,其维数与外微分形式的阶数相同,为的边界,积分的重数与积分区域的维数相同.当为直线段,为0次外微分形式,这就是牛顿—莱布尼茨公式;当为平面区域,为一次外微分形式,这就是Green公式;当为三维空间中的一张曲面,为一次外微分形式,这就是Stokes公式,当为三维空间中的区域,为二次外微分形式,这就是Gauss公式.又例如,可以用外微分形式来说明:在三维欧氏空间中有:散度,梯度与旋度这三个“度”,且只有这三个“度”,等等.(2-5)式不仅统一了中这些有关边界积分与内部积公的三个公式,重要的是:(2-5)式正好说明了高维空间中微分与积分是怎样形成一对矛盾的.从这里看出:应用外微分,也只有应用了外微分,才能说清楚这一点.更为重要的是,公式(2)不仅仅是在成立,并在,也成立,且在微分流形上也成立.所谓流形实际上是局部欧氏空间.流形上的公式(2-5)不仅说清楚了微分与积分如何在流形上形成一对矛盾,而且公式(2)也正是从古典微积分走向现代微积分的入口处.

实际上,有了微分就会有微分形式.早在1740年Clairaut就曾讨论过这样的微分方程,这里,均为,的函数.他指出,方程有解的充要条件是,方程的左边实际上为一次微分形式.后来出现了线积分与面积分.如:

及等等,这里,,均为,,的函数,积分号下都是微分形式,如1855年,Maxwell在计算电流通量时,就应用了这种积分.

1899年Cartan(ЁlieCartan,1869-1951)首先明确地定义了外微分形式,外导数等.1922年他十分明确地写出了(2-5)式.1899年,Poincaré(JulesHenriPoincaré,1854-1912)给出了那著名的Poincaré引理及其逆,即:若为一外微分形式,其微分形式的系数具有二阶连续偏微商,则.反之,若为一个次外微分且,则一定存在一个次的外微分形式,使得.此外,他还将Voltera的一个结果写成(2-5)式的形式等等.由于H·Poincaré,E·Cartan,E·Goursat等数学家的努力以及外微分形式在微分方程、微分几何等众多学科中的巨大成功,使得外微分形式得到蓬勃的发展,成为现在数学中不可缺少的重要内容.

为了与一元函数定积分公式统一起来，笔者建议在多重积分的变量替换公式中的Jacobi行列式的绝对值符号去掉.至于物理问题与几何问题可以根据其意义决定是否保留绝对值符号，求数量时加绝对值符号，求向量时去掉绝对值符号.目前看来这种定义方式的优点可能不明显，将来可能发现其意义，正如当年虚数提出时的情形，莱布尼兹在公元18世纪初则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物.”爱因斯坦讲：“数学世界一旦在观念上存在就开始了自己自主的生命和历史.科学家的目的是要得到关于自然界的一个逻辑上前后一贯的摹写.逻辑之对于他，有如比例和透视规律之对于画家一样；而且我同意昂利——彭加勒，相信科学是值得追求的，因为它揭示了自然界的美.”

新符号必须服从于新概念.我们用这样的方式来选择这些符号，使得它们会令人想到曾经是形成新概念的缘由的那种现象.在算术中，也象在几何学中一样，我们通常都不会循着推理的链条去追溯最初的公理.相反地，特别是在开始解决一个问题时，我们往往凭借对算术符号的性质的某种算术直觉，迅速地、不自觉地去应用并不绝对可靠的公理组合.路甬祥说过：“我认为是科学的想象力需要严谨的实验证据支持.提出科学问题很重要，要勇于挑战已有的科学理论，勇敢的提出质疑，但是这种质疑绝不是胡思乱想，绝不是毫无根据的，狂妄的去挑战已有的真理，而是需要严谨的实验作为依据.”“伽利略身上闪耀着渴望认识和驾驭客观世界的科学精神，宇宙的探索是永无止境的科学前沿，需要有志者像伽利略那样，不畏艰险，不断探索、开拓新的科学领域，深化人类对宇宙的认识.”