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  柯西-古萨积分基本定理

1.柯西-古萨积分基本定理

柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数论的基本定理和公式，留数定理是复积分和复级数理论相结合的产物.

定理1：（柯西-古萨积分基本定理）设函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则.

如果函数在的邻域内是解析的，则根据柯西-古萨基本定理                 ，其中C为邻域内的任意一条简单闭合曲线.

杨振宁讲：“柯西积分定理是一个古怪的方程，积分转一圈，如果圈内没有奇点，积分结果等于零.这个定理的发现者一定觉得这个结论妙不可言；我想任何一个人真正懂了这个定理以后，都会觉得惊讶，这真是美妙极了.第一个发现这个公式的人一定激动并惊讶不已，因为这个结论太美妙了.按照复变函数理论，一个复变函数，如果是解析的，即在区域内连续可导，借助格林公式，则柯西积分定理是轻易可以导出的必然结果：.”.

2.留数（残数）的定义、留数定理

柯西积分公式：若函数在闭围道的内部及其上是解析的，又若是内部的点，则：.

但是如果是的一个孤立奇点，且周线C 全在的某个去心邻域内，并包围点，则积分的值，一般说来不再为零并且利用洛朗级数公式很容易计算出它的值来＝ .我们把（留下的）这个积分值除以2ｉ后所得的数为在的留数，记作Res，即Res=，从而有Res=，此处的是函数通过洛朗级数展开的第负一次项系数.

定义1： 设函数f(z)以有限点a为孤立奇点，即f(z)在点a的某去心邻域内解析，则积分为f(z)在点a的留数或者残数（residue），记为Resf(z).

定理2（留数定理）：f(z)在周线或复周线C所范围的区域D内，除外解析，在闭域上除外连续，则（“大范围”积分）

证明：以为心，充分小的正数为半径画圆周线，使这些圆周及其内部均含于D，并且彼此互相隔离（如图1）.应用复周线的柯西积分定理得：

图1

利用这个定理，求沿封闭曲线C的积分，就转化为求被积函数在C中的各孤立奇点处的留数.

定理3：如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么在所有各奇点（包括点）的留数的总和必等于零.

对于复变函数积分，无论留数定理还是柯西定理、柯西公式及高阶导数公式都只能处理解析函数沿内部有有限个极点的闭曲线的复积分问题，对于积分区线上有极点的情况没有提及．

当被积函数满足一定的条件，即区域D 的境界线为C，函数 在D 内解析且在C 上连续并满足Hölder 条件: ，(0＜1 ) ，其中K 、 都是实常数，、为C 上任意两点，此时可以推导出一个该积分的“积分主值”的计算公式: .鉴于留数定理和柯西公式之间的关系，可以将积分曲线上有限个极点的情况推广到留数定理上． 函数 在闭曲线 所围的区域上除具有有限个奇点外是解析的，此时，留数定理的结论可改写为 

经过这样的推广后，直接可以用到积分区间上有极点的实变函数无穷积分上，无需针对实轴上的极点取辅助曲线，使得这类积分的求解过程得以简化．

3.留数求法及一般规则

I 如果是的可去奇点，那么Res=0，以为此时在的展开式是泰勒展开式，所以=0

 II 如果是本性奇点，那就往往只能把在展开成洛朗级数的方法来求.

 III 在是极点情形，有以下三种特殊情况下的规则

 规则一   如果为的一级极点，那么Res=（z-） 

 规则二   如果为的m级极点，那么Res= 

 规则三                        

定理4：设a为的n阶极点，，其中在点a解析，，则Res，这里符号代表，且有

证明:

推论4.1：设a为的一阶极点， ，则

推论4.2：设a为的二阶极点，，

定理5：设a为的一阶极点（只要及在点a解析，且）则

证明：因为a为的一阶极点，故

4.函数在无穷远点的留数

无穷远点是解析函数孤立奇点时，它的分类及其类型判定为函数在无穷远点处的留数计算提供了理论依据，而无穷远点处的留数计算及其相关定理是解决复变函数”大范围”的积分计算的有力工具.

定义2.设为函数的一个孤立奇点，即在去心邻域N－｛｝：内解析，则称

为在点的留数，记为，这里是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是r绕无穷远点的正向）.

　　设在内的洛朗展式为

由逐项积分定理知

也就是说，等于在点的洛朗展式中这一项的系数的反号.

定理6：如果在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为则在各点的留数总和为零.

证明:以原点为心作圆周的内部，则由留数定理得

两边除以，并移项得

亦即

但是要注意：虽然的有限可去奇点a处，必有，但是如果点的可去奇点（或解析点），则可以不是零.例如以为可去奇点，但

　　我们引入计算留数的另一公式：令，于是

且z平面上无穷远点的去心邻域被变成t平面上原点的心邻域（如r＝0，规定）;圆周被变成圆周：.从而易证，所以

5.用留数定理计算实积分

5.1.计算型积分

其中，是关于，的有理数，计算形如的积分，首先将被积函数转化为复数形式，再将积分区间化为沿闭曲线上的积分，为此，我们令，则，

，即

于是，，当由0变到，z恰好沿圆周的正方向绕行一周，于是

即转化为有理函数在上的积分.

若在上无奇点，而在内有等中个孤立奇点，则由留数定理，有

例题1：求

　　　解：当时，;

　当时，令

当时，在内，仅以为一级极点，在上无奇点，故由留数定理

当时，在内仅以为一级极点，在上无奇点

5.2计算型积分

为了计算这种反常积分，首先得引入一个定理7——

定理7：设沿圆弧（充公大）上连续，如图2，且

于一致成立（即与），则

证明　因为　　　　　　　           　

图2

于是有　　（1）

对于任给，则已知条件，存在，使当时，有不等式

于是（1）式不超过（其中）为的长度，即     

定理8：设为有理公式，其中

与　　　　　　　

为互质多项式，且符合：（1）;(2)在实轴上于是有

证明：由条件（1），（2及数学分析的结论，知存在，且等于它的值

记为　　　　　　　　

图3

取上半圆周作为辅助曲线（图3）.于是.由线段及合成一周线，先取R充分大，使内部包含在上半平面内的一切孤立奇点（实际上只有有限个极点）.而由条件（2）， 在上没有奇点.

按留数定理

或写成  　　　　①

因为　　　　　

由假设条件（1）知，故沿上就有

在等式①中命名，并且根据前面学的定理，知①中第二项的积分之极限为零，这就证明了定理

例题2：计算

解：满足有理函数积分条件

在实数轴是有单极点，在上平面上无奇点，因此

5.3　计算型积分

定理9（若尔当引理）：设函数沿半圆周（充公大）上连续，且在上一致成立.则

证　对于任给的，存在，使当时，有

于是，就有

而这里利用了

以及

于是由　

则上式可化为

定理10：设，其中及是互质多项式，且符合条件:

(1) 的次数比的数高；(2)在实轴上；(3)

则有

特别的，上式分开实虚部，就可以得到形如及的积分

例题3:求积分

解 如图作辅加曲线，辅助函数

 ， 

                          图4

由引理知:

在实轴上无奇点，为在上半平面的单极点

比较其实，虚部，有:

 (奇函数在对称区间积分必为零)

5.4 计算积分路径上有奇点的积分

在数学分析中，对于瑕积分，也可以类似定义它的柯西主值.又在定理4.23中假定无零点，现在我们可以把条件放宽一点，容许有有限多个一阶零点，即允许在实轴上有有限个一阶极点.为了估计挖去这种极点后沿辅助路径和积分，，除了上面两个引理外，再引入一个定理11—

定理11：设沿圆(r充分小)上连续，且

于上一致成立，则有

证明 因为，于是

例4: 计算积分

  解辅助函数: 

                                                           图5

在上平面上无奇点，在实轴上有单极点，故作绕过点;且 因此，

令，根据引理:

 ，

把在的领域内展成罗朗级数:

其中

为领域内的泰勒级数，故在在解析，则:

对积分

对积分的值进行估计:

由于在解析，则在连续， 在上必在界，因此，