4.无穷小量阶的比较及等价无穷小量的定义.docx

无穷小量阶的比较及等价无穷小量的定义

无穷小量概念是微积分理论中最基本的概念之一，但在微积分理论中无穷小量的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过，其他地方似乎都未涉及到.其实，在判断广义积分、级数的敛散性，特别是在求极限的运算过程中，无穷小具有很好的性质，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果，反之，则会错误百出，有时还很难判断错在什么地方.

定义：若函数(包括数列)在某变化过程中以零为极限,则称该函数为这个变化过程中的无穷小量.如函数,sinx,1-cosx,ln(1+x)均为当x→0时的无穷小量.对于数列只有一种情形,即n→∞,如数列{}为n→∞时的无穷小量或称为无穷小数列.

注意：1)绝对值非常小的数不是无穷小量,0是唯一的是无穷小量的数;无穷小量无限趋近于0而又不等于0.

2)无穷小量是变量,与它的变化过程密切相关,且在该变化过程中以零为极限.如函数当x∞时的无穷小量,但当x1时不是无穷小量.

3）两个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.

4）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.

一、无穷小量的阶

1）若，则称当时，是高阶无穷小，或称为的低阶无穷小，记作=().

特别，f为当x→时的无穷小量记作=().

2)若存在正数K和L，使得在某上有，则称与为当时的同阶无穷小量.特别当时，则称与必为当同阶无穷小.

3)若，则称与是当时的等价无穷小量.记为～.

注：当x→0时，与虽然都是无穷小量，却不能进行阶的比较，所以在进行阶的比较时还要注意有没有意义.

二、等价无穷小量的重要性质

设，，，，等均为同一自变量变化过程中的无穷小.

性质一：若～，～，且存在，则

()

性质二：若～，～，则～.

性质一是等价无穷小量商的极限求法；性质二是等价无穷小量的传递性.

α～α′,β～β′,且lim=c(≠-1),则α+β～α′+β′.

证明因为lim=

所以α+β～α′+β′.

在性质(3)的应用上忽略了“lim=c(≠-1)”这个条件,千篇一律认为“α～α′,β～β′,则有α+β～α′+β′

在同一变化过程中,～,～,且存在,则

=.

证明因为===.

故结论得证.

若α～α′,β～β′,且lim′存在,则当≠0且lim存在,有lim=lim′.

证明因为,

又α～α′,β～β′,于是,,,

从而=1,即～.同理可证～.

故命题得证.

设在自变量的某一变化过程中,、、及、、都是无穷小量.

①若～、～、且存在且,则有

～.

②若～、～、且存在且,则有

～.

③若～、～、～且存在且,则有.

证明①因为==.

又因为,故上式等于1.

②因为==.

又因为,故上式等于1.

③要证成立,只需证,因为

～,～,

所以结论得证.

性质（1）、（3）的求极限中就使无穷小量的代换有了可能性,从而大大地简化了计算.但要注意条件“lim=c(≠-1)”,“≠0”的使用.

注意1）需要注意的是在运用无穷小替换解题时,无穷小量一般只能在对积商的某一项做替换,和差的替换是不行的.

三、一些常用的等价无穷小量:(当时)

（1）～；（2）～.

(3)～～～～～～-1,(4)～,

四、等价无穷小量的应用举例

例1

（1），现在我们直接使用洛比达法则，则

（2）

会发现，分子分母上的求导运算越来越复杂，并没有起到简化的作用.那么怎么办呢?

我们这时候要想到等价无穷小替换，如果在第（1）步中对分母上的无穷小量用等价无穷小量来替换，则

例2

解：原式（用洛必达法则）

（将x=0代入）

（用洛必达法则）

用洛必达法则求不出结果，会一直循环下去.怎么办？用等价无穷小量代换.

因为x～sinx～tanx(x→0)，所以，原式==1，问题迎刃而解.

例3求.

解当→0时,～,～.

原式==..

例4求.

解原式==(∵～,～) =.

此题也可用洛必达法则做,但不能用性质②做.

所以,==0,不满足性质②的条件,否则得出错误结论0.

例5

解当→时，～，～.

.

例6（1）（2）

先算第（1）题，利用重要极限和运算法则直接求：

如果改用等价无穷小替换：

明显这是一个错误的结论.

同样的第（2）题也利用重要极限和运算法则直接求：

改用等价无穷小计算：

结果与上式相同.

可是为什么会这样呢？有的可以作等价替换，而有的题目作替换后就出错？

【注意】两个函数相减时就不能随便用等价无穷小替换了.

那么怎么判断两个函数相减时用等价无穷小替换到底是不是合适的呢？其实我们只要搞清楚等价无穷小代换的实质，原因就出在它的余项上.

第（1）题若用等价无穷小，实际上应当为

因为分子是的高阶无穷小，而不是的高阶无穷小，所以不一定等于零.

第（2）题中.

【注】无穷小量的的和、差、积还是无穷小量.这里分子是的高阶无穷小，那么分子与的比值的极限为零，也就是余项的阶数一定要统一，在余项的阶数不同的情况下，就不可随便等价代换.以上结果说明在错用等价无穷小量时，一般是阶数的判断上出现错误，那么阶数应该怎么求呢？请看下面的例题

例7

解

例8

证：.所以当.也就是，只要使得两个作比较的无穷小量的极限的是常数，此时与之作比较的变量的幂就是阶数.

泰勒定理：若函数在[a，b]上存在直至n阶的连续导函数，在（a，b）内存在（n+1）阶导函数，则对任意给定的∈[a，b]，至少存在一点ε∈（a，b），使得

一般我们用到的都是时的特殊形式：

也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式。

例7求极限

解我们分别用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去展开分子和分母，即：

；；

例8求

解：首先，我们用两个重要极限解答：因为，

=

洛必达法则解题：原式==

由于等价于，等价于，则由等价无穷小替换有：

例9求极限

解由于函数的分母中～（0）,因此只需将函数分子中的与分母中的cosx和分别用佩亚诺余项的麦克劳林公式表示,即：

,

,

.

所以.

例10由拉格朗日中值定理,对任意的＞-1,存在,使得.证明.

解因,

所以,根据题设所给条件有

即,所以,.