3.外微分形式与微积分基本定理.doc

设是定义在的某开集上的全体-函数所构成的环.再设中的坐标是，系数属于上的-函数环K，以为基底的模为，然后作上的模，其中，，.（）中的元素可以表示成，它们称为上的次外形式.特别地，中的元素的具体表达式是

，它们称为上的1次形式，又称为上的普拉夫形式.

现在我们在外形式模中引进一种微分运算，称为外微分.引进外微分以后，模的元素称为上的外微分形式，中的元素称为次外微分形式.

定义外微分是一映射，它的定义如下：设，

，

我们规定

=，

显然，从此定义可以直接看出：如果，则外微分就是普通微分；如果，因为.

我们再把以上外微分运算扩充到整个上.

定义:设，并且，，规定.

性质1设为-形式,为-形式,则

证明根据外微分的定义，只须考虑和是单项式的情形，设

，，则

性质2对任意,有(3)

证明由于的线性性,只要证明

这种情形即可.这时,

由于具有二阶连续偏导数,因此.所以

.

因此再由性质1可得

.

设都是三维空间的函数，则分别称（4）~（7）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式

（4）

（5）

（6）

（7）

在三维空间中，对于系数是可微函数的各阶外微分式（4）~（7），定义其外微分：

注1对基本外微分式的外微分，规定

在这个规定下，外微分算子的作用类似与普通微分算子，即对每一项进行运算，在每一项中又分别对每个因子进行运算，其余因子不动.所不同的是外微分算子在运算后进行外积运算，而普通微分算子在运算后进行普通乘积.例如

注2零阶外微分式的外微分就是普通的微分.

性质：阶外微分式的外微分是阶外微分式，三阶外微分式的外微分等于0，且它们与场论中的三度（梯度，旋度，散度）有如下联系：

（1）

（2）

（3）

证

（1）显然成立.

（2）

（3）

二重积分计算中坐标变换：设为由到的一对一的可微映像，则

这里称为变换的Jacobi行列式.

在二重积分中，，表示面积，从而

.

类似地，对三重积分中，作变换时，有

，

其中.

在第二类曲面积分计算中，若的方程为，则

从而.

这样，只要将向平面投影来计算这个曲面积分了.

（1）的条件为.

即有，，.

事实上，=

从而得到了要求的结论.

（2）的条件为

由，得出条件为

设是中意维区域（），是的边缘，具有诱导的定向，是上的（）-形式，则下列公式成立

这个公式通常称为斯托克斯（stokes）公式

（1）时，，其中是在上的一个原函数.

若记，则，则牛顿-莱布尼兹公式可写为

（2）时，设，是平面上一区域，是它的边缘闭曲线，再设是1-形式

.

这时斯托克斯公式为

，

这就是我们所熟悉的平面上的格林（Green）公式.

（3）时，设，是平面中的曲面域，是它的边缘（空间）闭曲线，再设是1-形式

.

这时，斯托克斯公式为

这就是我们在微积分教程中所见到的斯托克斯公式.

（4）如果，则是平面中一区域，是它的边缘闭曲线，是2-形式

.

这时，斯托克斯公式为

这就是微积分教程中的高斯公式.

1899年，Poincare给出了著名的Poincare引理及其逆.后经他们及古萨（E.J.B.Goursat,1858-1936）等人的发扬广大，尤其将它应用于微分几何,微分方程等学科上获得了很大的成功，成为近代数学的重要篇章.

性质3（庞加莱（Poincare)引理）设是三维空间中任意外微分式，其系数有二阶连续偏导数，则

证因为，

（1）是零阶外微分式

（2）是一阶外微分式

（3）是二阶外微分式，则是三阶外微分式，从而.

（4）是三阶外微分式，则，故.

性质4（庞加莱引理之逆）设是三维空间中的阶外微分式，其系数有一阶连续偏导数，且，则存在一个阶外微分式，使得.

证

（1）设是一阶外微分式

故

因为是无旋场

是梯度场

存在零阶外微分式，使得

于是

（2）设是二阶外微分式，且

故

因为是无源场是管量场

存在矢量，使得

记，则是一阶外微分式，且

.

（3）设是三阶外微分式，且

令，则.

从证明过程可见，庞加莱引理中，当是零阶外微分式时，等价于场论中的；而当是一阶外微分式时，等价于场论中的.

对于一个0-形式，也就是一个光滑函数：，我们有

所以，对于向量场,,其中代表的梯度.

设是一个封闭曲面的外侧.流体的速度场通量

表示单位时间内流体经流出的流量.如果，表示内部有产生流体的能力，即内有流体“源”.如果，说明流体从内流失，即内有流体“汇”或“漏”.

在给内一点，在内取一个包含在内的体积.表示的外侧表面.则比值表示附近单位体积在单位时间内产生的流量.当收缩到时，如果比值有极限，那么这个极限就可看成时点产生流体的能力，称为的源密度.

如果是一般的向量场，上述极限称为在的散度，记为v.如果向量场的散度处处为零，就称它是一个无源场.

向量叫向量场的旋度，记成v.为便于记忆，可以记.如果向量场的旋度处处为零，则称它是一个无旋场.

根据需要,分别记中的零次形、一次形、二次形为

式中()与f是,,的标量函数.

由前面的定义可求得它们的外微分为

（8）

(9)

(10)

设空间点的直角坐标为、、;正交曲线坐标为、、,坐标变换公式是

,,,沿坐标面常数的法线

方向的弧元为

Lame系数()(11)

定理5在正交曲线坐标系中

证明:已知在直角坐标系中,标量函数的梯度为

grad

将,()代入(8)得

(12)

又有(13)

由(12)、(13)得

(i=1,2,3)(14)

即

定理6在正交曲线坐标系中,矢量函数的旋度

式中

证明已知在直角坐标系中,矢量函数的旋度分量是

，

，

将上式及代入（9）得

(15)

又有

外微分得

（16）

由（15）、（16）得

定理7在正交曲线坐标系中,矢量函数的散度

证明已知在直角坐标系中

将上式及代人（10）得

(17)

又有外微分得

(18)

由（17）、（18）得

(19)

在流体力学中,特别是气体热力学,借助统计学可以对气体的状态进行描述,理想气体的状态参数通常有5个,但只有2个是相互独立的,故气体热力学系统相当于一个二维流形.

设、、、和分别为系统的内能、温度、熵、压强和体积,则热力学第二定理可以表示为:（20）

对热力学系统而言,它相当于一个二维流形,故可采用外微分来描述,由外微分的性质,知其中,代入式(20)可得:(21)

外积与外微分应用在可微流形上,允许进行坐标变换,分别取坐标系、、和,则很容易构造出系统的自由能、吉布斯函数、焓和内能.

(1)取流形系统的坐标系为,令,,

(22)

由式(3)知必为某个函数的一次微分形式,不妨令,物理学上称为封闭系统的自由能.

(2)取流形系统的坐标系为,令

,,

(23)

由式(3)知必为某个函数的一次微分形式,不妨令,物理学上称为系统的吉布斯函数.

(3)取流形系统的坐标系为,令

,,

(24)

由式(3)知必为某个函数的一次微分形式,不妨令,物理学上称为封闭系统的焓.

(4)取流形系统的坐标系为,令,,

(25)

由式(3)知必为某个函数的一次微分形式,不妨令,物理学上称为封闭系统的内能.