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勒贝格积分与黎曼积分关系

1933年，《关于理论物理学的方法》：“一切理论的崇高目标，就在于使这些不能简化的元素尽可能简单，并且在数目上尽可能少，同时又不至于放弃对任何经验内容的适当表示.”1936年，《物理学和实在》：“科学的目的，一方面是尽可能完备地理解全部感觉经验之间的关系，另一方面是通过最少个数的原始概念和原始关系的使用来达到这个目的.（在世界图像中尽可能地寻求逻辑的统一，即逻辑元素最少.）

勒贝格理论主要包括勒贝格积分概念、点集的测度和可测函数，1872年康托提出集合论，引进了点集的概念，间断点可以看做一个整体进行考察，就为间断点与可积性关系的探究提供了办法，勒贝格在原来的基础上推广了长度，建立点集测度的概念，与此同时，定义了内测度和外测度，如果时，我们称为可测集，并称内测度和外测度的公共值为点集的测度.勒贝格的测度概念把黎曼可积函数类变得非常的了然.勒贝格又把可测集上的函数定义为可测函数，那么是一有界可测集，是定义在上的实函数，如果对任一实数，点集还是勒贝格可测集，则

是上的可测函数.容易知道，可测函数不是连续函数的简单推广，它是在测度论基础上构造出来的，但它能把连续函数、可导函数、单调函数作为特例加以概括.能够证明，区间上的任意连续函数都是可测函数，狄利克雷函数则是不连续的可测函数.利用可测函数，在研究黎曼积分的定义方式后，考虑到由于间断点所造成的振幅过大的困难，勒贝格大胆地改变了对黎曼积分作函数定义域分割的方法，而采用对函数值域分割的方法，从而寻求到“缩小”振幅，消除间断点困难的简单、巧妙而富有哲理性的逆向思维方式，并在点集论、测度论、可测函数等已有基本概念上创建一种新的积分类型——勒贝格积分.彻底解决了黎曼积分自身局限性所造成的各种困难问题，定义了他自己的积分概念.这两种积分既有区别又有联系，通过对这两种积分的对比研究，能让我们加深对积分理论及应用的理解.

一、  黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

1.1黎曼积分

黎曼积分是为了处理计算平面上封闭曲线围成图形的面积问题而产生的,它是从划分闭区间上着手,利用极限想法来进行定义的.

定义1设函数在上有以下定义.随意给一个划分：

==，然后在所有小区间上任意取一点，.

记区间的长为=，令.作积分和为.假设当时，那么积分和的极限是，即，且数与划分无关，也与的取值无关，则称

函数在黎曼可积，是在上的黎曼积分，表示为.

假设当时，积分和极限不存在，称函数在上是不可积.黎曼积分的定义知道：若函数在上黎曼可积，那么在上必定有界.换句话说，若函数在上无界，则在上必定不是黎曼可积.

1.2勒贝格积分

利用与黎曼积分类似的思想，从划分函数值域着手利用极限思想来定义勒贝格积分.

定义2设函数是上的有界可测函数，.任意给

一个划分.然后考虑集合，

当，给勒贝格定义小和及大和，，，

则会有和，其中.所

以定义函数在上的勒贝格积分为.

由定义可以知道在有界区间上的有界可测函数勒贝格积分总是存在的.比较黎曼积分的定义1和勒贝格积分的定义2，黎曼积分是对区间进行划分来思索的，然而勒贝格积分是从对函数值域进行划分来思索的.因为我们也可以不需要划分函数值域的方法去定义L黎曼积分，以下称为3定义.

定义3设是上的非负可测的简易函数，它在点集上

取值.假如是可测集，那么定义

非负可测简易函数在上的勒贝格积分为.设是上的非负可测函数，我们定义是上的勒贝格积分，为

是上的非负可测简易函数.若

，则称在上是勒贝格可积的.

设是上的可测函数，，

，如果积分中最起码有一个是有限的，则称

为在上的勒贝格积分；如果上面式子右边两个积分都有限时，则称在上是勒贝格可积的.

从勒贝格积分的定义3可以知道，在这没有对函数值域作出任何的划分，而是从非负可测简单函数角度来定义可测函数的勒贝格积分，固然勒贝格积分的这两个定义是相等的.虽然在上黎曼可积的函数是勒贝格可积的，但反过来说明就不一定是成立的.所以对区间作划分上的区别只是表面现象，并不是勒贝格积分定义的本义性质.

二、黎曼积分与勒贝格积分的关系

勒贝格积分与黎曼积分的关系能用一个公式来表示，它不但阐明勒贝格积分是黎曼积分的一种推广，而且为一般有界函数的黎曼可积性提供了一个简单的判别准则.本文将从一维的情形进行探讨，在这里要用到黎曼积分理论的下述结果：

设是定义在上的有界函数，是对所做的分划序列：

，，

，若令（对每个以及），

，则关于的Darboux上，下积分下述等式成

立：，.

引理1设是定义在上的有界函数，记是在上的

振幅（函数），我们有.左端是在上的勒贝

格积分.

证明因为在上是有界的，所以是上的有界函数，所以

.对于之前所述说的分划序列，作下列函数列有

，，

，

显然且有.我们记各是上

的上确界、下确界，存在一切，有，所以根据控制收敛定理（控

制函数是常数函数）可以得到.从另一方面看，因为

得到.

定理1函数黎曼可积的充分必要条件是函数不连续点的一切要成一零测集.

三、黎曼积分和勒贝格积分性质的比较

3.1被积函数绝对可积性的比较

我们都知道如果在上是可积的，那么在上也是可积的，这就说明了对于勒贝格积分来说，在上可积与在上可积是相互等的，但是对于黎曼积分来说，这个性质反而不成立.

例1，显然，在上不是黎曼可积；但是，在上黎曼可积.

3.2被积函数的有界性的比较

由定理1我们知道函数黎曼可积的充分必要条件是函数不连续点的全体要成一零测集，函数连续点的全体所构成的集合也一定是稠密集，简略说明，黎曼积分理论是针对连续函数或“基本上”连续的函数而建立，同时说明可积函数必定是有界的.

定理2如果函数黎曼可积，那么必定有界.

设在可测集上是可测的，这时我们可定义

，称在上的勒贝格积分.其中

.

令，则，容易得

出，如果在上是可测的，那么与在上也是可测，反之亦然.

而且对于测度有限的可测集上的可积函数来说，总是有

.

定义4设在可测集上是可测的，假如在上述定义下的

和不同时为时，那么我们称在上积分是确定的，

并且定义是在上的勒贝格积分，要是此

积分有限，我们称在上勒贝格可积.

定理3设为可测集上的有界函数，那么在上勒贝格可积的充分必要条件是在上是可测的.

由此我们知道勒贝格积分与黎曼积分相比较下有着明显的优点，它将可积函数类扩大成一般可测函数，而不仅仅是限于有界函数.

3.3中值定理

在黎曼积分中，有以下中值定理：

定理4（第一中值定理）设在上连续，则存在，使得

.

定理5（第二中值定理）设在上可积，

（i)如果函数在上递减，且，则存在，使得

.

（ii）如果函数在上递增，且，则存在，使得

.

推论2设函数在上可积，如果为单调函数，则存在，使得

.

在勒贝格积分中，我们知道了从非负可测函数积分的几何意义到一般可测函数积分的几何意义.

定理6（非负可测函数积分的几何意义）设是可测集上的非负

函数，那么当在上可测时，有.

推论3设是上可积函数，则.

3.4被积函数连续性的比较

如果是定义在上的有界函数，那么在上是黎曼可积的充分条件是在上的不连续点集是零测度集.

定理7定义在有限区间上的函数若是黎曼可积，那么勒贝格可积，并且积分值是相等的，即.

这表明了在上黎曼可积与勒贝格积分是相等的，反过来证明勒贝格可积的函数未必黎曼可积.

例2在上的函数，不是黎曼可积的，却是勒贝格可积的.那是因为除了点外，闭区间上的其余点都是属于间断点，那么它在一正测度集上是间断的，所以它不是黎曼可积的，但是因为是有界可测，所以说这个函数是勒贝格可积的.

3.5收敛条件

在黎曼积分的意义下，函数列只有满足一致收敛的条件，才能够保证极限与积分的交换顺序，但是这一条件过分强了.如，，

当时，收敛但是非一致收敛于，然而此时仍然有

.

这就说明，黎曼积分收敛定理中的一致收敛只是积分运算与极限运算交换的充分条件，而不是必要条件.

在勒贝格意义下，不是一致收敛也能保证积分与极限运算的交换的.

定理8（勒贝格控制收敛定理）设

（1）是可测集上的可测函数列；

（2），，并且在上可积；

（3）（依测度收敛）

则在上可积，并且.

通过定理6，7，8能对黎曼积分收敛定理作出了一些适当的改进，改进后的定理是：

定理9设和在上可积且

（1）处处收敛于；

（2）

那么有.

下面我们重新来考察前面所提到的函数列，和

极限函数，显然和满足定理9的条件，因此，虽然

不一致收敛于，但是由定理9可知必定有

.

由此得知，定理9的确比原来的黎曼积分收敛定理要优越，但是还要注意，定理9要求在上必定要一致有界的（因可积必有界），这显然使得积分号下取极限这一重要运算手段受到了非常大的限制与影响，不仅仅如此，定理9中关于极限函数可积性的假设也是不能丢掉的.

例3将中全体有理数列出：作函数列

.

显然对每个自然数是上黎曼可积的函数，并且积分值都是零，所以.

容易知道极限函数是狄利克雷函数，它不是黎曼可积的，那就没有办法去讨论积分号下取极限的问题.

另一方面，从定理8得出，在勒贝格积分理论中，没有要求函数列一定要一致有界，只要有一个控制函数就行；也没有要求必须处处收敛于，只

要能够依测度收敛就行，也不用假设极限函数的可积性，这是因为定理8本身就可以保证极限函数一定是可积的.例如，对定理9中的和，

必定有.

通过以上几点可以知道，黎曼积分相对于勒贝格积分有着明显的局限性.

勒贝格可积函数的范围要比黎曼积分广，这主要体现在勒贝格积分包含了黎曼积分，勒贝格积分与极限的交换容易达成主要表现在：积分与极限的交换问题在勒贝格积分范围内比黎曼积分范围内更为完美的解决，主要体现在控制收敛的定理上.对于正常的黎曼积分和勒贝格积分有如下的关系：定义在有限区间上的函数，如果黎曼积分可积，那么勒贝格积分可积，并且积分值是相等的，但是相对于广义积分来说，却不一定是这样.

定理10设是上几乎处处连续的函数，并且对任意的，

在上是有界的，且在上是不变号的，则

.

注：上述定理说明了不变号的函数广义黎曼积分和勒贝格积分的关系，那么对上变号的函数结论是不成立的.由此我们知道广义黎曼积分是推不出勒贝格积分的，反之若存在，那么也存在.

上面我们考虑的是有界区域上的无界函数，下面我们将考虑无限区域情形.

定理11若在上连续并且是黎曼可积的，则有

.

证明：因为在上连续并且黎曼可积，由定义可知，对任意的

闭区间，在上是黎曼可积的，且有

并有限，所以，对每个，令，，

则是可测函数列，且，，根据单调收敛

定理可知.所以，在上勒贝格可

积，并且，，再由勒贝格控制收敛定理知

则.

定理12设是上的非负函数，并且是广义黎曼可积，那么

在上勒贝格可积，且.

证明因为在上是广义黎曼可积，且是非负连续函数，则对任意自然数，在上黎曼可积，则由闭区间上两个积分的关系可得

，所以，因此

.

我们知道，勒贝格的积分运算不能够完全的解决由函数的有限导数去求其原函数的问题，下面我们一起看看勒贝格积分的一些推广，它们能够完全的去解决这个问题.

首先Henstock把积分的定义稍微的修改，将变成，就能得

到Henstock积分，对于的精细分法定义如下：

定义5在上给出正值函数，要求在上的分法是精

细的，是指的有序分点与结点，对每一个

，都有.

定义6设定义于，若存在常数，则具有下列关系：对，

有，对任何精细分法，其分点为,结点为

，都有.

那么称在上是Henstock意义下可积的，并且称在上的积分，记作.

这个积分定义和积分定义不相同，主要是它的积分和并不要求对全部分法及一切的都能够使式满足，而只是要求对于任意精细分法中相应的分点与结点能使式满足，这样就削弱了对分法及选择的要求，这就有可能会使本来不是可积的函数变为可积函数.

通过对本文的探讨，我们知道了一些黎曼积分和勒贝格积分的发展，同时对这两种积分的性质进行了相互比较，说明了两者之间的联系及区别.同时还阐述了勒贝格积分是黎曼积分（非广义）的发展和延伸，勒贝格积分够能解决黎曼积分在一些函数积分上难以解决的问题，还说明了勒贝格积分并不是完全否定黎曼积分，而是把黎曼积分作为一种特例进行加以概括说明，并且在一定的条件下勒贝格积分是可以转换成黎曼积分的，除此之外还说明了勒贝格积分并不是广义黎曼积分的推广，并深入探讨了两者之间的联系.

综上所述，从黎曼积分到勒贝格积分的发展过程中，生动的阐述了数学的发展是永无止境的.随着人们对于客观世界的认识不断深化，数学的发展将是不可限量的，可以预测：随着依赖数学为基础的其他学科的发展，积分的发展也会越来越完善.将来也会出现更多具有更好性质的积分理论等着我们去发现.李政道教授说：科学探索与艺术创作的共同特征是发展人类的创造力，它们追求的目标都是真理的普遍性.艺术用创新手法去唤醒每个人的意识或潜意识中深藏着的珍贵情感，艺术水平越高，唤起的情感就越强烈，反响越普遍.科学研究发现的定律越深刻，阐述得越简单，就越具有一般性，应用就越广泛.

参考文献

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