14.芝诺的四个悖论.docx

芝诺的四个悖论

经验论和理性论是哲学命题.科学理论有经验论和理性论之分始于欧洲文艺复兴运动后期哲学家对政教合一的经院哲学开展猛烈抨击之时.英国哲学家F.培根认为，人类的一切知识都来自实践经验的综合归纳.而法国数学家-哲学家笛卡尔则认为经验是不可靠的，只有从最简单的绝对可靠的逻辑前提出发，经过严密的逻辑演绎所得出的知识才是可靠的.这两种不同的观点，后来就演化为科学理论也有经验论和理性论之分.

佯谬或“伪悖”通常是指明显、直接违反客观现实、常识，但在逻辑上又一时（对芝诺悖论这个佯谬而言，这个“一时”竟然迁延二千余年）挑不出毛病的逻辑推理，而悖论通常是指单纯的逻辑问题.二者的破解途径，其实并无二致，都必须从逻辑推理上解决问题.也就是必须要指出其悖在何处.

第一个悖论是阿基里斯与乌龟悖论，希腊战士阿基里斯跟乌龟赛跑，乌龟说，如果它比阿基里斯先跑10米，那么阿基里斯永远都追不上它，因为只要阿基里斯跑了10米，这时乌龟就又多跑了几米，若阿基里斯再跑到乌龟曾经停留的点，乌龟一定又跑到阿基里斯前面去了；看似有理，但要怎么说明为何如此呢？第二个是二分法悖论，是说你永远不可能抵达终点，因为你为了抵达终点，必得先跑完全程的一半，而要跑到全程的一半，你又得跑完一半的一半……如此一来，你永远跑不到终点；甚至可以说你根本无法起跑，因为若要起跑一小段距离，你就得移动那一小段距离的一半，似乎永远无法开步跑？第三则是飞矢悖论，在任一时刻，飞矢会占据着与它同等长度的空间，就这个瞬间而言，飞矢可说是静止不动的；如果每一个“任一时刻”飞矢都静止不动，那么飞矢应该一直不动.怎么可能如此？飞矢应该不断往前飞啊！第四是竞技场悖论，假设时间有最小不可分割的单位（这是自古以来的基本假设），现在有3辆车子，在单位时间内，一号车向左移一个车身，二号车不动，三号车向右移一个车身，于是一号和三号便相差两个车身，那么一号和三号车在过程中相差一个车身时，需要花费基本单位元时间的一半，但这与基本的单位时间假设相冲突.林兹要阐释这四个芝诺悖论，所持的基本论点是，对运动中的物体而言，并没有所谓的“任一时刻会位于某个确定位置”，因为物体的位置会随时间不停地改变.他解释道︰“这样想应该比较能够理解，无论时间间隔多么小，或者物体在某段时间间隔中运动得有多慢，它还是在运动状态中，位置还是不断在改变，因此，无论时间间隔有多短，运动物体没有所谓在任一时刻、某一瞬间拥有确定的相对位置这回事.”从芝诺到牛顿乃至于今天的物理学家，在讨论运动的本质时，无不假设“运动中的物体之间具有确定的相对位置”，而林兹则认为，便是因为假设时间可以冻结在任一时刻，此时运动中的物体位在一个确定的位置上，因此芝诺悖论中那种不可能发生的情况才会成立.林兹也指出，无论如何，某段时间间隔一定可以用一个时间范围来表示，不能只说是“一瞬间”的单一时刻：“举例来说，如果有两个独立事件分别测得发生在1小时或10秒钟，这两个数值应是指两事件分别发生在1-1.99999……小时之间，以及10-10.0099999……秒之间.”因此林兹可以很直接地解决类似“飞矢悖论”的问题.一位著名的牛津大学数学家评论道：“这真令人既惊讶又意外，不过他是对的.”林兹继续将他所提出的概念推到物理学的其它方面，包括量子力学及霍金所建构的宇宙学.

1、关于二分法，认为运动不存在.其内容是：物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限进行下去，所以，它永远到不了终点.

辩证无限观的第一种解释（即点本质上是一个线段）：由于“点”始终是一个线段，因此这个距离不是由无限个“点”构成，在有限的时间内我们可以越过有限长的距离或有限多个“点线段”.或者按照亚里士多德的观点，把时间与空间在结构上看成是完全一样的，那么，在有限的“时间点”（即一段时间）内越过有限的“空间点”（即一段距离），或者在无限（即潜无限）的时间点中越过无限（即潜无限）的空间点，是完全可能的.亚里士多德在《物理学》中阐述道，“例如，假使时间在两个方向的延伸上无限，量也就在两个方向的延伸上无限；如果时间在分起来上无限，量也就在分起来上无限；如果时间在延伸和分小这两个方面都无限，那么量也就在这两个方面都无限.”（亚里士多德，p.168），“因此，既不能在有限的时间里通过无限的量，也不能在无限的时间里通过有限的量；而是：时间无限，量也无限，量无限，时间也无限.”（亚里士多德，p.169）

辩证无限观的第二种解释（即线段与点无关，点是一个数学点）：既然线段不是由点构成，因此线段与“无限个点”就不存在内在的关联，所以，我们在有限的时间内越过一段距离就跟“无限或无限过程”毫无关系，正如我们一脚跨出一段距离一样，我们不能说我们跨越了一个无限.

2、关于飞矢不动，即飞着的箭是静止着的.

辩证无限观的第一种解释（即点本质上是一个线段）：点本质上是一个线段，所以，“现在”这一时刻本质上仍然是代表一段时间，即时间是由“现在”这一时间段组成的.所以，飞着的箭在任一时刻（即一段时间）仍然是飞着的.如果把时间看成是由“现在”这一没有时间长度的绝对时刻组成，即线段是由没有测度的点构成，那么我们必然会得到上述那一矛盾着的结论，因为运动在那儿消失了（实无限的本质是否定运动），所以飞着的箭是静止的.正如亚里士多德所言，“这个结论是因为把时间当作是由‘现在’合成的而引起的”（亚里士多德，p.192）；他指出，“没有任何事物能在‘现在’里运动”（亚里士多德，p.172）、“运动事物的运动和静止事物的静止都必然是在一段的时间里.”（亚里士多德，p.173）.时间通过运动来体现，只有我们感觉到运动变化，我们才会感觉到时间；运动必是在时间里的运动.辩证无限观的第二种解释（即线段与点无关，时间与时刻无关）:即时间与“现在”点（时刻）无关，没有了“现在”这一时刻点，问题本身就不存在.

纵观数学史，一个基本的事实是，每当不少数学家感觉数学的知识基础有危机，甚至感叹数学大厦将倾覆的时候，也许恰恰是数学知识范式即将发生重大转换的时刻.正如第一次数学危机(不可公度线段的发现)导致数系的拓展(无理数得以产生)，第三次数学危机催生了公理化集合论一样，为了解决第二次数学危机(即无穷小量悖论)，数学之树结出了甚为丰富的知识硕果.因此，差异性的广延与悖谬的重生常常是发生数学革命的一个典型征兆，其认识论意义和方法论意义都是不可小视的.