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极限思想为何没有在中国古代产生

谈到中国古代数学，吴文俊先生有一个著名的观点，他认为中国古算“创造与发展了从计数、分数、小数、正负数以及无限逼近任一实数的方法，实质上，达到了整个实数系统的完成”，“早在公元263年时，刘徽即已通过十进制小数以及极限过程完成了现代意义下的实数系统”.^[1]但此观点却招致了相当多的置疑.在一篇精彩的反驳论文中，蒙虎详细比较了中西数系不同的发展历程，指出中国古算的无穷小数并未进一步区分无穷循环小数与无穷不循环小数，虽然刘徽已经模糊地意识到了无穷小数的极限存在（“以面命之”），但并没有明确规定“面”的具体运算法则，而“这是中国古算中的小数数系能否成为一个实数系的关键所在”，因此中国古算只完成了有理数系，并未完成实数系.^[2]中国古算虽然形成了无穷级数与无穷小数的概念，这是由引入十进制计数法而自然形成的，但无穷级数、无穷小数还不是无理数，只有当它（即一个有理数无穷序列）趋于某个极限时才表示一个无理数.所以，我们要考察的重点是：中国古算有没有形成精确的极限概念.这是比较中西数学思维差异的核心内容.

我们假设有如下一个无穷级数或无穷小数的各项函项序列：a₁，a₂，…，a_i，……

这个无穷序列的极限就记作Ia.刘徽在求微数时就注意到，“若开之不尽者，为不可开，当以面命之”，这个“面”就是一个模糊的极限概念，但在实际计算过程中，他对“面”并未进行任何处理，而是“不以面命之，加定法如前，求其微数.微数无名者以为分子，其一退以十为母，其二退以百为母.退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之.”（《九章算术注·少广》）也就是说，在具体计算中，中国古算只计算到某个函项a_i就停止了，它是一个近似值，而对极限值Ia未作任何探讨，所以就没有进一步推导出计算Ia值的一般公式.所以，中算家并未形成精确的极限概念，即从未发现处理极限值的具体方法.中算家虽然认识到求微过程可以无限进行下去，但却没有兴趣去探求这个极限值到底是什么.正如特古斯指出的那样：“中算家的无穷小方法表示了一种朴素的极限观念，即把序列的极限等同于它的末项，这种朴素的观念在直觉支配下不可能达到精确的概念.精确的极限概念是指具有某种属性的数，它和序列能否取到该数毫不相干.这种精确的概念只能逻辑地定义出来，但中算家的可接受性准则是直观上的合理性，而不是逻辑上的相容性.”^[3]

但西方数学的兴趣恰好相反，他们的目的是追求一个精确算法，即在逻辑上严格推导出计算极限值的一般公式.古希腊欧多克索斯的比例理论把无理数（即不可公度量）表示为两个几何量的比，并建立起了量的运算法则，从而得到了有关无理量运算的一般法则.到近代，笛卡尔发明了坐标几何，在“数”和“量”之间建立起了一一对应关系，即可通过计算连续几何量的变化来求解代数方程.在数学上，像连续与极限的精确概念，只能从几何直观中获得，而这正是西方数学传统的擅长.微积分就是在坐标几何的基础上建立起来的，它把求极限值Ia转换为求解一个微分或积分函数，即Ia＝f（a，△a），其中△a表示相邻两个函项a_i，a_i－1的比值或差值，当i趋向无穷时，△a就趋向于零，此时该函数就导出了一个精确的表达公式.建立微积分以后，就须为△a这个趋向无穷小的“数”给出严格定义，直到魏尔斯特拉斯把实数定义为一有界单调增或减的有理数序列后，西方完备的实数系才算建立起来.整个西方数学的发展可以看作是从自然数系出发逐渐构造出实数系的一个逻辑化过程，它经历了如下几个步骤：自然数→整数→分数（有理数）→代数无理数→超越无理数→实数→非标准实数→……

西方数学在建立每一个数系的步骤上，都同时建立起了该数系的演绎化的运算法则，追求逻辑的严密性是其最根本的特征.显然，中国古代数系的形成没有经历过如此复杂的逻辑化过程，它虽然形成了无穷小数的概念，但却从来没有产生过如此丰富的数学涵义.所以，中西数学思维差异的根源还在逻辑思维的差异上.中国循环逻辑模式很难让中算家想到去创造出一个新的“数类”来探求无穷求微下去的极限值是什么，而西方递归逻辑模式则能不断创造出新的“数类”来求极限值的精确解.到康托建立超穷数理论时，他就直接假定，任一无穷超穷数序列a₁，a₂，…，a_i，……之后必然存在一个极限数Ia，它就是一个新的“数类”.中算家则无法想象出这么抽象的“数类”来.许多数学命题q在其系统Q内无法直接证明，而是需要通过构造一个等价性系统Q′，将证明命题Q（q）转换成证明等价命题Q′（q），譬如费马大定理的证明就是如此.这种证明思想，恐怕也是中算家根本无法想出来的.中国古算在求近似值方面虽远超西方古典数学，但微积分的发明使得西方数学突然全面超越了中国古算的智力水平，这是中国不能产生近代科学的一个关键因素.李约瑟所言，“没有什么比欧美文明与中国文明的合流更伟大.”