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离散与连续的相对性与绝对性原理

康托曾经讲过：“在数学领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.数学的本质在于其自由.”海森堡讲：“提出正确的问题往往等于解决了问题的大半.”李政道讲：“对于科研工作者来说，最重要的是自己会不会提出问题.”

1.问题分析

关于点在数学上的定义，认为点没有测度而线段具有测度，但是另一方面，数学又规定了“线段由点构成”，从而导致数学内在的一个不可调和的矛盾.数学的“点”是一个绝对的已分之物（不可再分之物），线段由无限多的这样的点构成就是由“实无限”多的点构成，从而是一个“实无限性质”的定义.这种实无限思想必然导致线段、点之间缺乏质的统一性（实无限的本质是将无限过程与结果在质上进行割裂），导致点与线段内在的不统一，从而导致不可调和的矛盾，因而“线段由点构成”在哲学上是矛盾、荒谬的.

“点”作为纯粹的数学抽象物，它的长度（测度）为零，从而是一个“虚无”，是一个假想物.这种几何上的纯粹的“点”如同代数中的纯粹的零，是一个绝对的“虚无（空）”，它与“空间”、“连续性”没有内在的必然联系，没有任何质的统一性；因而再多的点也只能是构成一个虚无的点，也不可能构成“连续性”.“线段”与“点”（或点集）是完全不同的两个概念，谁也代表不了谁.线段上可以有无数的“虚无”的点，但是这与线段又有什么关系呢？因此线段不是由“点”构成，面也不可能由直线构成、空间不可能由面构成.

但是，如果把“点”作为一个“不纯粹”的抽象物，如果它具有长度，代表了一个过程而不是一个“静止物”时，它是一个变量；可以被看作为一个不断缩小线段的极限过程，从而是一个具有“无限小”测度的线段，那么，“点”与“线段”将具有质的统一性，线段由点构成也就变得可以理解了.

质是事物内在的规定性，量是事物外在的规定性.辩证无限观（ZhangHong，ZhuangYan，2019）认为，真无限是恶无限内在的质的联系与统一性，因此真无限代表、反映了恶无限的质；无限是质与量的统一，恶无限代表无限的量（运动），真无限代表无限的质（规律、共性或联系）.辩证无限观认为实无限将有限、无限割裂开，用静止而不是运动的观点看待事物，具有内在的不可调和的矛盾，是一种形而上学、唯心主义的无限观.线段作为一个数学抽象概念，其内在的质的规定性是连续性；而如果作为一个无限（由无限多的点构成），由于长度不是“点”内在的质，因此线段的“质”就无法在“点”的质上得到体现.因此要体现两者的质的统一性，必须是“点”也应具有测度.另一方面，只有“点”具有了测度，才能体现线段的连续性，体现线段可以分成永远可再分的部分，即分成有测度的“点”，而这是一个恶无限过程，不可穷尽的过程.因此，我们必须放弃“线段由点构成”这种存在内在矛盾的表述、定义，放弃这种实无限性质的定义.

2.解决方案

纵观各大哲学家、数学家对此问题的分析，有两种解决方案浮出水面.对于点、线段的关系，我们有两种可以接受的认识，这两种解释都能很好的解决连续、离散问题.

一种是，认为“线段由点构成”，但必须承认“点”具有一个“无限小”（变量）的测度，即点具有既是零又不是零的测度，“点”本质上仍然是一个线段.这种解决方案的依据是确认“点”与“线段”具有质的统一性.因此，“点”仍然是一个无限过程而不是终点，即此点不是数学中的那个测度纯粹为零的“点”.这样，“线段由点构成”就变成一个无限过程，一个不可终结的无限过程.这符合辩证无限观的认识，并且不存在内在矛盾.黑格尔、皮尔士先生提出了这样的解决方案.

这种解决方案表明，有测度的点，其测度（量）是有与无的统一，是一个变化的无限小量，是一个变量.相对宏观上，单点的测度表现为零，而相对微观上，单点的测度不是零，而是一个无限小量（变量），体现一个无限过程.因此，无限多个这样的点，在宏观上，其测度可能是零，也可能不是零，这需要这个“无限”与线段在内在质上的明确关系.

另一种认识，否认线段由点构成，即线段不是由点构成，线段本身是一个具有测度的基本数学抽象对象（即将连续作为一个基本的抽象对象），线段与“点”无关，与无限、无限过程无关；点是一个与线段无关的另一个数学抽象对象，点不属于线段，点是我们强加给线段的，点仅仅是测度大小、位置的描述工具或标志物.从这点看，以“有限长线段”的可完成性，来代替“无限点”的遍历性是没有逻辑、哲学依据的.康德先生提出过类似的解决方案.这种否认线段由点构成的哲学思想体现在亚里士多德、康德、维特根斯坦等几位大师的思想中.这种观念延伸到对“数”的理解上，就是认为实数集是一个标记集，数是对量的标记，数与数轴上的线段一一对应.正如王浩先生所说，“长度和体积的测量是算术和几何的结合，应用各种单位以计算一个数.正像方程的解那样，这是产生分数和无理数的一种自然方法.要求绝对精确的，更确切地说可以无限地改进的测量就产生了‘实数’这一概念.”.

3.数本身不能反映连续性

现代数学将实数集等同于连续统（线段），使每一个实数对应着一个“数学点”，用实数的连续性来反映线段的连续性.然而数本身与“点”一样并不能代表、反映连续性，数的本质是代表分立.

在黑格尔看来，数本身不能解释连续性，数的本质体现分立；黑格尔认为量包含连续性与分立性两个环节，连续性、分立性通过“数量”而得到统一，即连续性、离散性通过“数量”实现辩证统一.“量”本质起源于丈量，天然是对“长度”的计算，但不是“连续性”本身.数是量的体现，所以叫做数量；黑格尔认为“数是量的绝对规定性”（黑格尔，1974，p.226），恩格斯认为“数是我们所知道的最纯粹的量的规定”（恩格斯，p.236）.因此，数既可表示离散的量，如个数、计数，也可表示连续的量，如代表单位、尺度（长度）.而当数代表连续的量时，其基础是单位尺度（是一个连续），数是“连续统”的丈量，因此数通过“单位”将“连续性”隐藏起来，将连续性对象离散化，所以数本身不能解释连续性，数量的本质是体现分立.黑格尔强调了连续性、分立性（离散性）的统一，他指出：“反过来，在分立的大小那里，也不可以忽视连续性；这个环节，如已经指出过的，是作为单位的一.”（黑格尔，1974，p.212）.即数的基础是单位、尺度，所以数的根本特征是度量；单位、尺度的本质是一个定量，是“具有特定存在或质的定量”（黑格尔，1980，p.234），是质与量的统一.黑格尔认为量的本质是分立，不直接体现连续性，他阐述道：“直接的量就是连续的大小.但是量本来不是直接的；直接性是一种规定性，量本身就是规定性的扬弃.所以量就是要在它的内在的规定性中建立起来，这种规定性就是一.量是分立的大小.”（黑格尔，1974，p.211）

黑格尔详细介绍了“数”的概念，指出数从分离的环节是数目、从连续的环节是单位.“数”体现“多”，既可表示连续的量，也可表示分立的量.“一”作为“单位”的体现，扬弃了连续性，即“一”不体现连续性而“单位”本身却体现连续性；数以“单位”（以一）为根本，数在“单位”那里具有连续性，深刻揭示了数通过“单位”将连续性隐藏起来.黑格尔指出：“首先，定量是具有规定性或一般界限的量，----它在具有完全的规定性时就是数”（黑格尔，1974，p.214）、“在数里，定量达到它的发展和完善的规定性.数包含着‘一’，作为它的要素，因而就包含着两个质的环节在自身内：从它的分离的环节来看为数目，从它的连续的环节来看为单位.”（黑格尔，1980，p.223）

因此数将连续性隐藏起来，它是通过“单位”来体现连续性，数本身不能说明连续性.黑格尔阐述道：“在这些规定中完全建立起来了的定量，就是数.这个完全建立起来了的东西就在作为多的界限的实有之中，因而也就是在多与单位的区别之中.因此，数好像是分立的大小，但数在单位那里也同样有连续性.所以数也是有了完全规定性的定量；因为在数中，界限就是被规定了的多，而多则以一，这个绝对被规定了的东西为根本.一在连续性中，仅仅是自在的，是被扬弃了的，而连续性被建立为单位，则只有不曾规定的形式.”（黑格尔，1974，p.215）

连续和离散是矛盾的两个方面，它们共生互补，缺一不可，是相对性与绝对性的统一，根据唯物辩证法的观点它们也具有统一性的一面，从某一个方面考察是连续的量，从另一个方面考察是离散的.离散和连续两者既没有绝对连续不可分的对象，也没有完全连续的对象，这两个方面不仅是现实的，而且常常在某些情况下连续表现为决定性的，在某些情况下离散表现为决定性的.我们称之为离散与连续的相对性与绝对性原理.例如：数集1，2，3，4，5，6，……在自然数集上是连续的，在有理数集和实数集上离散.