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维特根斯坦对于连续与离散的认识

我们知道维特根斯坦(Wittgenstein)是一位典型的潜无限论者，他反对实无限，反对无限的客观存在，认为无限是一种以法则表示的无限可能性而不是现实性.在连续与离散问题上，他质疑“连续”是由“点”组成这一观念，反对线段由点构成，认为是以“不适当的图像”表述了“连续的直线”，即，“点”不能解释“连续”.在《数学基础研究》中他如此表述：“正如奥古斯丁所谓的时间之谜的情形一样，连续统之谜是由如下情形决定的：我们受到语言的诱导，将一幅不适当的图像应用于它之上.集合论保留了这幅有关不连续的东西的不适当的图像，但是在想着摆脱这些偏见时却将与这幅图像相矛盾的事项表述给了它.然而，实际上我们应当指出这点：这幅图像恰恰是不适当的，尽管我们不能将其加以拉伸，而又没有撕裂它，不过，我们可以使用一幅新的、某种意义上与那幅旧的图像相似的图像”（维特根斯坦，2013，p.213-214）.

由于坚持潜无限观，所以维特根斯坦反对通过线段收缩产生一个点，认为点与长度无关，即点不可能构成线段.他解释道:“这不可能意味着它通过收缩产生了一个点”（维特根斯坦，2013，p.222）；“如下做法是不够的：人们通过缩小一个点的停留地点的方式在越来越大的程度上决定它（人们声称事情是这样的）；相反，人们必须将它构造出来.不断地掷骰子虽然不加限制地限制了这个点的可能的停留处，但是它并没有决定任何一个点.这个点在每次投掷（选择）之后还是无限地不确定的.我相信，在此我们受到了我们的视觉空间中的诸对象的绝对的量的误导；另一方面又受到了‘接近一个对象’这个表达式的歧义性的误导.针对视野中的一条线段人们可以说，它通过收缩总是更加接近于一个点；也即，它变得与一个点更加相似了.与此相反，欧几里得线段通过收缩并没有变得与一个点更为相似，毋宁说，它与它总是同样地不相似，因为它的长度可以说与这个点没有任何关系.”（维特根斯坦，2013，p.221-222）

他认为无限是不能表示的，所以反对线段由点构成.在《哲学评论》中他阐述道：“真正无限的东西只能描述而不能表示.”（维特根斯坦，2003，p.196）；“直线是一种规则，不是由任何东西组成的.”（维特根斯坦，2003，p.201）；“这清楚地表明，无理数不是一个无限小数的延伸，而是一个规则”（维特根斯坦，2003，p.214）；“π这个字母代表一个规则.”、“实数就是：一个可以得出无限多位小数的算术规则.”（维特根斯坦，2003，p.219）

他和皮尔士一样都反对将连续统与集合划上等号.在《哲学评论》中他指出：“数学完全沾染上了集合论（Mengenlehre）表达方式的恶习.其中一个例子就是关于直线由点组成的说法.直线是一种规则，不是由任何东西组成的.作为视觉空间中的有色线条的直线可以由较短的有色线条组成（但肯定不是由点组成）.”（维特根斯坦，2003，p.201）